Nombre pi, la course au record s’emballe

Un Japonais et un Américain ont calculé ce printemps cinq mille milliards de décimales du nombre pi, soit près du double du record précédent établi en décembre 2009. Une prouesse inutile?

Dans Star Trek, en 1967, le capitaine Kirk et Monsieur Spock avaient ordonné à l’ordinateur de l’Enterprise de calculer le nombre pi jusqu’à sa dernière décimale. Une manière de provoquer un calcul infini, pour chasser l’alien qui s’était emparé de la machine. Au printemps 2010, le Japonais Shigeru Kondo donne un ordre similaire à son PC de bureau, équipé d’un programme conçu par un étudiant de 22 ans, l’Américain Alexander Yee, rencontré via Internet. Trois mois plus tard, le 2 août, le duo annonce un nouveau record à battre: cinq mille milliards de décimales de π.

Tout le monde connaît π depuis l’enfance, le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Combien ont essayé de calculer, de mémoriser et même de réciter cette suite infinie de chiffres, qui semble répondre au plus parfait hasard? Le fameux 3,1415926535… qu’on retient aussi sous forme de poème, dont chaque mot porte un chiffre dans son nombre de lettres: «Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages…». Si la première trace écrite de π remonte à 2000 avant J.-C., en Egypte, le premier calcul rigoureux est à porter au crédit du génial Archimède qui, vers 250 avant J.-C., avait presque découvert la troisième décimale en inscrivant un cercle entre deux polygones. Cette quête n’a jamais cessé depuis. «Il y a eu une pause de plusieurs décennies, corrige le mathématicien Jean-Paul Delahaye, du Laboratoire d’Informatique fondamentale de l’Université de Lille (France), auteur d’un ouvrage de référence consacré à π1. En 1874, le Britannique William Shanks avait obtenu 707 décimales après quinze ans de calculs, dont seulement 527 se sont avérées exactes par la suite.» Un effort surhumain, si bien qu’il faudra attendre 1946 – et l’essor des machines à calculer mécaniques – pour un nouveau record: 620 décimales exactes. Trois ans plus tard, le premier ordinateur, l’Eniac, livre 2037 chiffres en seulement 70 heures. Commence le règne des supercalculateurs qui durera 60 ans.

En 2009, tout bascule. En août, le Japonais Daisuke Takahashi franchit le seuil de 2500 milliards de décimales avec un supercalculateur de l’Université de Tsukuba, sept ans après le précédent record. Mais sa joie est de courte durée, avec l’exploit, achevé en décembre, du français Fabrice Bellard: presque 2700 milliards de chiffres obtenus en 131 jours, et pour la première fois avec un banal ordinateur de bureau. «Le record de Fabrice Bellard était très inattendu, analyse Jean-Paul Delahaye. Il a réalisé quelque chose d’extraordinaire, grâce à une gestion très sophistiquée de la mémoire de son ordinateur. Mais c’est assez logique: depuis vingt ans, la progression des records sur π suit la loi de Moore, qui veut que la puissance des puces double tous les dix-huit mois.»

A quoi bon une telle débauche d’énergie? Jean-Paul Delahaye aime citer une phrase du mathématicien russe David Chudnovsky, qui a découvert, en 1987, avec son frère Grégory, une formule de calcul désormais utilisée dans la plupart des tentatives: «Explorer π c’est comme explorer l’univers…» Le Français reconnaît «qu’il ne sert pas à grand-chose de calculer des milliards de décimales puisqu’il suffit aux physiciens d’en connaître quelques dizaines pour calculer la taille de l’univers observable au millième de millimètre près. Mais π est un nombre fascinant. Sa définition géométrique est particulièrement simple, et il résiste à tous les efforts.» Pas question, par exemple, de le définir par une fraction, ou une équation simple. «On pense qu’il est «normal» sans avoir jamais pu le démontrer». Normal? Cela signifie que ses chiffres sont parfaitement mélangés: aucun chiffre, ou suite de chiffres, n’apparaît plus souvent qu’un autre.

Tous les records semblent confirmer la «normalité» de π, et bon nombre de passionnés rêvent sans doute de contredire ce postulat. Mais c’est d’abord l’esprit de compétition qui les motive. «Fabrice Bellard a lancé son calcul moins d’une semaine après l’annonce du record de Takahashi», souligne Alexander Yee. Mon programme n’était pas prêt et nous n’avons pu démarrer qu’en mai dernier.» Comme l’étudiant américain, Fabrice Bellard voit ces défis «comme un passe-temps», même s’il avoue avoir levé le pied. Une passion qui coûte cher. «Shigeru Kondo a utilisé 16 fois plus de mémoire et 3 fois plus de disques de stockage, pour un prix 10 fois plus élevé que les 1500 euros de mon ordinateur.»

Alors chère et inutile, la soif de précision sur π? Pas complètement, souligne Fabrice Bellard. «Certains progrès réalisés sur les méthodes de calcul de π s’appliquent aux techniques de multiplication de grands nombres.» Des formules qui sont par exemple utilisées pour le codage des signaux (ADSL, télévision numérique, etc.), la spécialité de l’ingénieur français. «Dans mon cas c’est un peu l’inverse, j’avais notamment repris un algorithme utilisé en télévision numérique pour calculer π!»


Source : letemps.ch