TS - Problème Dérivée

Bonjour, j'ai quelques soucis pour trouver une dérivée...enfin je pensais l'avoir trouvé mais au vu des variations de la fonction sur le graphique... Je cherche à établir le tableau de variations de h1

On désigne une fonction h1(x) sur [0;1] par h1(x) = h(x) + h(1-x)

De plus, je sais que pour tout x de ]0;1], h(x) = -x [ ln(x) / ln(2) ]
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Voici comment j'ai procédé :

h'1(x) = h'(x) + h'(1-x)
La fonction ln est dérivable sur ]0;+oo[ et x dérivable sur IR donc h est dérivable sur l'intervalle concerné.

h'(x) = (-1)*[ln(x)/ln(2)] + (-x)*(1/x ln2)
h'(x) = [(-ln (x) -1) / ln(2) ]

Ensuite, h(1-x) = (x-1) * [ln(-x+1) / ln2]

h'(1-x)= [ln(-x+1) / ln2] + (x-1)*[(1) / ((x-1)(ln2))]
h'(1-x) = [(ln(x-1)+1) / ln2 ]

Ainsi, puisque h'1(x) = h'(x) + h'(1-x),

h'1(x) = [(-ln (x) -1) / ln(2) ] + [(ln(x-1)+1) / ln2 ]
h'1(x) = [ln ((x+1)/x) / ln2]

ln(2) >0
ln ((x+1)/x) >0 <=> (x+1)/x >1 <=>1/x >0
d'où ln ((x+1)/x) >0 <=> x€]0;+oo[
Donc dans l'intervalle concerné, h'1(x) serait strictement positive, d'où h1 serait strictement croissante sur ]0;1]...

Mais comme je l'ai dit, en traçant la courbe, on voit que celle-ci n'est pas monotone sur ]0;1]...ce qui montre que mon raisonnement est faux...

Quelqu'un peut-il m'aider Merci d'avance

dj_titeuf a écrit:On désigne une fonction h1(x) sur [0;1] par h1(x) = h(x) + h(1-x)

De plus, je sais que pour tout x de ]0;1], h(x) = -x [ ln(x) / ln(2) ]
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jusque là je suis

dj_titeuf a écrit:h'1(x) = h'(x) + h'(1-x)

Là tu as un problème de notation qui prête à confusion.
h'(1-x) n'est pas la dérivée de x -> h(1-x), mais la valeur de h' en 1-x
Vu le calcul que tu as fait après, tu n'as pas fait la confusion, mais tu dois changer ta notation. Donne un nom à x->h(1-x) par exemple, ce sera plus simple.

dj_titeuf a écrit:La fonction ln est dérivable sur ]0;+oo[ et x dérivable sur IR donc h est dérivable sur l'intervalle concerné.

h'(x) = (-1)*[ln(x)/ln(2)] + (-x)*(1/x ln2)
h'(x) = [(-ln (x) -1) / ln(2) ]

Oui

dj_titeuf a écrit:Ensuite, h(1-x) = (x-1) * [ln(-x+1) / ln2]

h'(1-x)= [ln(-x+1) / ln2] + (x-1)*[(1) / ((x-1)(ln2))]
h'(1-x) = [(ln(x-1)+1) / ln2 ]

Tes problèmes commencent ici (hormis le problème de notation). Ton (1-x) s'est transformé en (x-1) dans le logarithme. (x-1) est négatif ....

ok je te remercie je vais m'y replonger
C'est souvent des petites erreurs comme ça qui faussent tout...

si tu ne veux pas de surcharger de notations, dis tout de suite que:
h1'(x) = h'(x) - h'(1-x)
ici, tu as déjà utilisé la dérivation de hof où f : x |-> 1 - x

C'est bon merci ça marche à présent

Cependant j'ai un problème pour la dernière question de cet exo.
Voici l'intitulé:

Rappel de l'énoncé:

h est la fonction définie sur [0;1] par h(0)=0 et, pour tout x de ]0;1], h(x) = -x [ln(x)/ln(2)].
On admet que h est continue sur [0;1].
On définit également la fonction h1 sur [0;1] par h1(x) = h(x) + h(1-x).
Variations de h1: sur ]0;1/2[ strictement croissante; sur ]1/2;1[ strictement décroissante. (Pourquoi h1 n'est-elle plutôt pas définie sur ]0;1[ car en 0 et 1 il me semble que ça n'est pas possible... )

QUESTION : Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre p € ]0,1[. On appelle incertitude moyenne de X la quantité h1(p).
Donner la valeur de p pour laquelle h1(p) est maximum, et commenter ce résultat.

Voilà donc la question à laquelle je ne parviens pas à répondre.. Quelqu'un a une idée
Merci d'avance, et bonne journée

je pense que la réponse est p=1/2 d'après l'étude des variations précédente...mais comment le rédiger? Et de plus quel commentaire faire sur ce résultat?

A quoi sert dans l'énoncé h(0)=0 ??

Elle n'était pas définie en 0 à cause du ln, donc on pose h(0)=0 pour quelle soit définie sur [0;1] et non sur ]0;1].

Merci bien Julien, mais quel commentaire puis-je bien faire quand au résultat trouvé? (voir dernière question).
Bonne soirée @ toi

dj_titeuf a écrit:Merci bien Julien, mais quel commentaire puis-je bien faire quand au résultat trouvé? (voir dernière question).
Bonne soirée @ toi

c'est un prolongement par continuité de la fonction pour qu'elle soit définie en
0, et la fonction obtenue est continue sur [o,+inf[ puisqu'elle tend vers 0 en 0.

ok merci