TS - Encadrement Intégrale

Bonjour, tout d'abord JoYeUsEs PâQuEs @vous tous

Venons en au fait. J'ai là un problème portant sur les intégrales et suites, et je ne parviens absolument pas à trouver la première question. Ca fait 2h30 que j'y suis (si, si ), mais rien n'y fait.
Si quelqu'un parvenait à m'aider, ça serait vraiment sympa. Bonne journée @ tous, et merci d'avance

Enoncé

Soit n€IN.
On pose Un= 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n
On considère la fonction f définie sur ]0;+oo[ par f(x) = 1/x.

Montrer que, pour tout entier k non nul, (1)/(k+1) <= intégrale entre k et (k+1) de f(x) dx <= (1/k)

Merci et joyeuses pâques à toi aussi !

Est-ce-que tu es parvenu à montrer un côté de l'inégalité ?

Merci à toi
Et bien non justement aucun...
Je ne vois pas comment partir :|As-tu une idée?

Je regarderai ce soir quand j'aurais un peu plus de temps... Je te primets de t'apporter de l'aide ! lol

pour montrer l'inégalité de droite (je vais pas te mâcher le boulot qd même ^^) :
int(k,k+1)dx/x = ln((k+1)/k)=ln(1+(1/k))
soit phi(x)=ln(1+(1/x)) - 1/x
on calcule la dérivée de phi(x) pour x>0 et on voit qu'elle est tjs positive pour x>0
comme limite de phi en +oo = 0 on en déduit que pour tout x>0, ln(1+(1/x))<=1/x
en remplaçant x par k, on trouve bien le résultat demandé ^^
n'hésite pas à poser des questions si tu piges rien...
(et pour l'inégalité de gauche, c'est le même style)

remarque : c'est pas forcément la meilleure méthode mais je suis pas d'humeur à faire des maths

Ah... troll m'a devancé !

Si tu ne comprends pas un truc, n'hésite pas à demander !

Julien a écrit:Ah... troll m'a devancé !

Si tu ne comprends pas un truc, n'hésite pas à demander !

bah tu peux tjs faire l'inégalité de gauche, bien que je sois contre le travail mâché

Oui, le but d'un forum n'est pas de faire les devoirs à la place de quelqu'un mais de lui donner des pistes comme l'a très bien compris dj_titeuf.

Je vous remercie beaucoup à tous les deux, je vais essayer de rédiger, et si j'ai quelques difficultés, je vous tiendrai au courant!
Bonne soirée

soit dit en passant, cet exo est un classique ; je suppose que la suite est "montrez que Un converge vers ln2"
dans le même genre, vous avez "montrez que 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5...converge vers ln2"

La suite est

En déduire que 1/n+1 + 1/n+2 + ...+ 1/2n <ou = intégrale entre n et 2n de f(x) dx.

pas évident non plus...mais on verra ça après que j'ai réussi la 1ere question C'est à rendre pour mercredi, il faut que je le finisse demain

dj_titeuf a écrit:La suite est

En déduire que 1/n+1 + 1/n+2 + ...+ 1/2n <ou = intégrale entre n et 2n de f(x) dx.

pas évident non plus...mais on verra ça après que j'ai réussi la 1ere question C'est à rendre pour mercredi, il faut que je le finisse demain

c'est évident : tu as
pour tout n : 1/k+1<intégrale de k à k+1 de dx/x (à montrer puisqu'on l'a pas fait à gauche mais c le même principe qu'à droite)
donc :
1/(k+1) + 1/(k+2) +... 1/2k) < int(k, k+1) dx/x + int (k+1,k+2)dx/x +...+ int(2k-1,2k) dx/x
d'après la relation de Chasles :
1/(k+1) + 1/(k+2) +... 1/2k) < int(k,2k) dx/x

franchement c pas dur

Bonjour,
pour la 1ere question, j'ai commencé par l'inégalité de gauche:

Intégrale entre k et k+1 de f(x) dx= ln [(k+1)/k]

Soit f(x) = ln [(k+1)/k] - 1/k+1

f'(x) = (-1+k) / [(k)(k+1)]
J'ai fait l'étude de signe et je trouve:
sur ]-oo;-1[ f' négative
sur ]-1;0[ f' positive
sur ]0;1[ f' négative
sur ]1;+oo[ f' positive

Mais je n'ai pas très bien compris comment à partir de là montrer l'inégalité demandé...malgré l'explication de Troll

Effectivement c'est un classique....il faut majorer et minorer tous les termes, en remarquant que 1/n, 1/(n+1)....1/(2n) sont tous compris entre 1/n et 1/(2n), donc leur somme est....etc.

heu....ça ne répond pas tellement à ma question Doktor

dj_titeuf a écrit:heu....ça ne répond pas tellement à ma question Doktor

bah si, mais je vais pas te faire tout ton probème....rappelle toi juste que si tu majores une fonction sur un intervalle, ça revient à majorer l'intégrale sur cet intervalle par la même chose

Par la même chose si b-a = 1 (a et b étant les bornes de l'intégrale...), non ?
Sinon, c'est la même chose multipliée pas (b-a), n'est-ce pas ?

Julien a écrit:Par la même chose si b-a = 1 (a et b étant les bornes de l'intégrale...), non ?
Sinon, c'est la même chose multipliée pas (b-a), n'est-ce pas ?

oui bien sur...ce que je veux dire c'est qu'on peut intégrer les inégalités, et que ça donne le rectangle qui a pour base b-a et pour hauteur le maximum ou le minimum de la fonction sur [a,b]. Donc il y a un (b-a) qui apaarait quand on intègre, mais là si j'ai suivi il intègre entre k et k+1.

Doktor a écrit:mais là si j'ai suivi il intègre entre k et k+1.

Ah oui, tu as raison, j'avais oublié !

heu...je ne vous suis plus là...
Mais bon c'est un moindre mal, puisque ça y est, j'y suis arrivé en dérivant l'expression de la différence
Merci encore à vous

Bon...maintenant je vais m'attaquer aux questions suivantes...j'espère ne plus avoir recourt à vous...lol

J'ai par la suite établi la relation suivante :

int(n+1;2n+1) 1/x dx <ou= Un <ou= int(n;2n) 1/x dx

Soit, après calculs,

ln[(2n+1)/(n+1)] <ou= Un <ou= ln(2)

Or, je cherche dans un premier temps à montrer que la suite Un est convergente. Puis ensuite sa limite.

Pour moi, une suite est convergente lorsqu'elle est majorée et croissante, ou bien minorée et décroissante. Or là, je ne vois pas très bien comment montrer cela... C'est bien comme ça qu'il faut partir?

Je n'ai pas l'exercice en tête, mais tu peux procéder comme tu l'as dit : tu sais déjà que ta suite est bornée.

Ensuite, tu calcules U(n+1) - U(n), par exemple et tu en déduis si elle est croissante ou décroissante.

Voici comment j'ai procédé:

U(n+1) - Un = [(1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2(n+1))] - [(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/2n)]

= (1/2n+2) - (1/2n) = [-2] / [(2n+2)(2n)]

n€IN*, donc quelque soit n, U(n+1) - Un <0 <=> U(n+1) < Un
d'où Un est strictement décroissante sur IN*.
De plus, Un est minorée par ln [ (2n+1) / (n+1) ], on en déduit donc que Un est convergente.

*Il s'agit ensuite de déterminer la limite de Un :

d'après l'encadrement : ln[(2n+1)/(n+1)] <ou= Un <ou= ln(2)

lim ln2 en +oo = ln2

lim ln[(2n+1)/(n+1)] = ?

lim (2n+1)/(n+1) en +oo = lim (2n)/(n) = lim 2= 2
lim lnX où X->2 = ln2
donc lim ln[(2n+1)/(n+1)] = ln2

D'après le théorème des gendarmes, lim Un en +oo = ln2

Est-ce correct et bien rédigé?

désolé mais :
U(n+1) - Un = 1/(2n+2) + 1/(2n+1) - 1/(n+1)

Je veux bien te croire...mais peux tu me dire pourquoi stp??
(D'après mon calcul ci-dessus)
Je ne vois pas d'où vient le 1/2n+1

moi j'ai trouvé (1/2n+2) - (1/2n)

U(n+1) - Un = (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n)+(1/2n+1)+(1/2n+2))
- [(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/2n)]
En gras, les termes qui ne se simplifient pas...
Tu vois maintenant ?

dj_titeuf a écrit:*Il s'agit ensuite de déterminer la limite de Un :

d'après l'encadrement : ln[(2n+1)/(n+1)] <ou= Un <ou= ln(2)

lim ln2 en +oo = ln2

lim ln[(2n+1)/(n+1)] = ?

lim (2n+1)/(n+1) en +oo = lim (2n)/(n) = lim 2= 2
lim lnX où X->2 = ln2
donc lim ln[(2n+1)/(n+1)] = ln2

D'après le théorème des gendarmes, lim Un en +oo = ln2

Est-ce correct et bien rédigé?

Pour ce qui est de cette limite, c'est juste et correctement rédigé, mais faut voir avant...

et bien non je ne vois pas tout...

Selon toi, U(n+1) = (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n)+(1/2n+1)+(1/2n+2)

Je suis d'accord pour (1/n+2), pour (1/n+3).... et (1/2n+2)
Mais par contre je ne comprends pas d'où sortent
(1/2n) et (1/2n+1)....


Je suis parti de Un=(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/2n)

A partir de là, U(n+1) = (1/n+1+1)+(1/n+1+2)+...+(1/2(n+1))
= (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n+2) non?

C'est justement avant que je ne comprends pas
Tu peux m'expliquer? >>voir mess ci-avant

dj_titeuf a écrit:et bien non je ne vois pas tout...

Selon toi, U(n+1) = (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n)+(1/2n+1)+(1/2n+2)

Je suis d'accord pour (1/n+2), pour (1/n+3).... et (1/2n+2)
Mais par contre je ne comprends pas d'où sortent
(1/2n) et (1/2n+1)....


Je suis parti de Un=(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/2n)

A partir de là, U(n+1) = (1/n+1+1)+(1/n+1+2)+...+(1/2(n+1))
= (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n+2) non?

Un = somme(k=n+1 à 2n) de 1/k c'est ça ?
alors U(n+1) = somme(k=(n+1)+1 à 2(n+1)) de 1/k
U(n+1) = somme(k=(n+2 à 2n+2) de 1/k
Pour U(n+1), k prend toutes les valeurs entières entre n+2 et 2n+2 et ça comprend notamment : (1/2n) et (1/2n+1)

dj_titeuf a écrit:et bien non je ne vois pas tout...

Selon toi, U(n+1) = (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n)+(1/2n+1)+(1/2n+2)

Je suis d'accord pour (1/n+2), pour (1/n+3).... et (1/2n+2)
Mais par contre je ne comprends pas d'où sortent
(1/2n) et (1/2n+1)....


Je suis parti de Un=(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/2n)

A partir de là, U(n+1) = (1/n+1+1)+(1/n+1+2)+...+(1/2(n+1))
= (1/n+2)+(1/n+3)+...+(1/2n+2) non?

Un = somme(k=n+1 à 2n) de 1/k c'est ça ?
alors U(n+1) = somme(k=(n+1)+1 à 2(n+1)) de 1/k
U(n+1) = somme(k=(n+2 à 2n+2) de 1/k
Pour U(n+1), k prend toutes les valeurs entières entre n+2 et 2n+2 et ça comprend notamment : (1/2n) et (1/2n+1)

Je te remercie
A présent je comprends
Bonne soirée @ tous.

dj_titeuf a écrit:heu...je ne vous suis plus là...
Mais bon c'est un moindre mal, puisque ça y est, j'y suis arrivé en dérivant l'expression de la différence
Merci encore à vous

J'étais en WE prolongé et je viens juste de lire le fil, mais si tu as démontré ton premier encadrement en utilisant les logarithmes et en dérivant tu risques de te faire allumer. Ca fonctionne, mais c'est Doktor qui a raison.

si k < x < k+1, alors 1/(k + 1) < 1/x < 1/k
tu intègres entre k et (k+1) et tu as directement l'encadrement souhaité.

C'est quand même nettement plus simple.

et il y avait plus simple pour la deuxième question aussi, mais je viens de m'apercevoir que tu rendais ça aujourd'hui .....

Oui en effet je l'ai rendu aujourd'hui matthias
Mais pourquoi je me ferais allumer pour le 1er encadrement? Bien que je t'accorde que ce soit assez long, c'est quand même rigoureusement correct ...non?

Bonne soirée

Oui, on peut le démontrer rigoureusement avec cette méthode, mais c'était tellement immédiat ...
Sinon ce serait dommage de s'arrêter en si bon chemin avec cet exercice.
Si tu considères le problème suivant:

Un = (somme(k=1 à k=n) des 1/k) - Ln(n)

Tu peux facilement montrer avec les mêmes méthodes que cette suite est convergente. Sa limite s'appelle la constante d'Euler ou d'Euler-Mascheroni (qu'on note avec la lettre gamma, en minuscule). Elle est très utilisée en mathématiques, bien qu'on ne sache même pas si elle est irrationnelle (Il est par contre facile d'en donner une valeur approchée = 0,57721566 ...)

Bon alors dj_titeuf, t'as eu des nouvelles de ton devoir ? De ce qu'en a dit le prof ??