Primitive de fonction non continue

Bonjour,

Est-ce-qu'il existe des fonctions non continues qui admettent des primitives ? Si oui, auriez-vous un exemple à me donner ?

voila un cours qui en parle : http://www.eiaj.ch/v2/support_de_cours/electricite/Cours_GEL/Branches_scientifiques/Mathematiques/Integrales%20definies.pdf

Merci beaucoup pour le lien, oclone, mais ils en parlent à quelle page ?

vers la fin : 4.2. integralesde fonctions discontinues

oclone a écrit:vers la fin : 4.2. integralesde fonctions discontinues

D'accord, merci !

On peut effectivement aborder le problème avec les intégrales, mais ce n'est pas nécessairement la méthode la plus simple (surtout les intégrales impropres) car il faut faire attention à ne pas tourner en boucle en définissant la primitive à partir de l'intégrale.
On peut renverser le problème et se demander s'il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue (dérivable mais non C1 donc), ce qui revient au même.

Et on a un exemple ultra classique avec:
f(x) = x².sin(1/x) pour x <> 0
f(0) = 0
On montre facilement que f est continue (tend vers 0 quand x tend vers 0), dérivable (avec la limite du taux de variation en 0), et que la dérivée n'admet pas de limite en 0 donc n'est pas continue en 0.

On a donc f' non continue qui admet f comme primitive.

matthias a écrit:Et on a un exemple ultra classique avec:
f(x) = x².sin(1/x) pour x <> 0
f(0) = 0
On montre facilement que f est continue (tend vers 0 quand x tend vers 0), dérivable (avec la limite du taux de variation en 0), et que la dérivée n'admet pas de limite en 0 donc n'est pas continue en 0.

On a donc f' non continue qui admet f comme primitive.

Ah oui, merci matthias ! Avec cet exemple, j'ai bien compris alors que la prof de maths nous a dit que nous ne connaissions pas de fonctions non continues admettant des primitives...

Clair, elle ne sait même pas ce qu'elle fait cette prof:no

Attention à ne pas confondre primitive et intégrale !
La fonction caractéristique de Q dans R est d'intégrale nulle, tandis qu'elle ne possède pas de primitive.
En fait il y'a un théorème de Darboux je crois, qui nous donne une indication sur les discontinuité d'une fonction discontinue qui a une primitive. Ces discontinuités ne peuvent pas se situer n'importe où... Un bon exemple est celui de Matthias.
a+

Héhé, avec Lebesgue tu peux créer une primitive il me semble...
Puisque pour toute fonction mesurable (qui est le cas de la fonction caractéristique dans Q) peut etre approximée par des fonction simples. Si tu prend la limite des integrales de ces fonctions simples, tu auras une primitive non ?

Dans la même lignée, il existe en math des droles de bêtes !
En effet, on peut par exemple fabriquer des fonction qui sont continues partout et dérivables nulle part !
La fonction de Weierstrass en est un bel exemple:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Weierstrass

le_duche a écrit:Héhé, avec Lebesgue tu peux créer une primitive il me semble...
Puisque pour toute fonction mesurable (qui est le cas de la fonction caractéristique dans Q) peut etre approximée par des fonction simples. Si tu prend la limite des integrales de ces fonctions simples, tu auras une primitive non ?

Non justement tu ne peux pas et je viens de l'expliquer.
Il ne faut pas confondre primitive et intégrale.
Tu peux bien définir une fonction f telle que f soit l'intégrale entre 0 et x de ta fonction (ici par exemple l'indicatrice de Q), mais est elle dérivable?
Et si oui, retombes tu sur l'indicatrice de Q?
Bein non
a+

Par exemple si g est l'indicatrice de Q sur [0,1], alors la fonction f définie par f(x)=intégrale de g(t)dt entre 0 et x est la fonction nulle de [0,1]
si bien que f'(x)=0 pour tout x
Pourtant g(x)=1 pour tout x rationnel.

Cependant:
f'=g presque partout
mais ce n'est pas extrêmement intéressant, d'autant plus que g=0 p.p., donc bon ...

En fait, si tu as une mesure m et une fonction g mesurable positive, alors la fonction f définie par f(x)=intégrale sur R de g(t)m(t) possède m pp une dérivée au sens de Radon-Nikodym qui est la fonction g. (et elle est unique m pp)
Dans le cas où g est continue par morceaux, alors c'est la dérivée classique.
Ca donne un peu la saveur de la théorie des distributions (sauf que c'est méchament plus complexe)

Hum, wé ca semble correct...
Faudrait revoir ce qu'on entend vraiment par primitive, car j'ai vu ce comcept dans le cadre des intégrales de Rieman, mais serait-il possible d'étendre le concept aux intégrales de Lebesgues ?

Il me semble que la primitive avait été définie comme ceci:
Soit f une fonction, on dit que F est une primitive de f si F' = f

Dans ce cas on est carrément hors sujet, car la dérivabilité implique la continuité, et c'est justement les problèmes de continuité qui ont été erradiqué par Lebesgue...

(le problème c'est que je viens de faire de l'annalyse pendant toutes les vacances, et que là j'ai plus envie d'en faire avant la rentrée ^^ donc j'ai un peu la flemme de pousser le raisonnement plus loin )

La dérivabilité de F implique la continuité de F, mais pas nécessairement la continuité de f.

Je sais bien, mais quand on traine avec des fonction pranchement pas continue, faut pas s'amuser à définir une dérivée...
mais tient, tant que j'y pense, ce ne serait pas possible avec la dérivée faible ?
J'y réfléchirai en rentrant de vacances, c'est promis... là je pars demain matin et je rentre le 14 !

Bonnes vacances. Profite bien.

pas de soucis, toi qui est du coin, on se fait Bruxelles-Libramont à pieds en 7 jours ^^ quand je rentre ce sera dodo/pc pour une semaine

Vous êtes courageux ! De vrais sportifs.