Courbes paramétrées

Qu'est-ce-qu'un point birégulier par rapport à un point régulier ?

Un point est régulier si dM/dt non nul, birégulier si dM/dt non nul et d²M/dt² non nul.

matthias a écrit:Un point est régulier si dM/dt non nul, birégulier si dM/dt non nul et d²M/dt² non nul.

Ah d'accord. Merci pour la définition.

Dans le cours, on dérive une norme, un produit scalaire, un déterminant... alors que ce sont des nombres. Est-ce normal ?

Lol, ce sont des fonctions à valeurs réelles que tu dérives.
La fonction qui a un vecteur associe sa norme.
La fonction qui a une matrice associe son déterminant.
La fonction qui a deux vecteurs associe leur produit scalaire.

On peut même dériver des truc beaucoup plus bizarres et même à valeurs non réelles (on dit plutôt différencier dans ce cas).

D'accord, je me doutais bien qu'on avait le droit, mais je ne comprenais pas pourquoi. Merci !

En fait la différentiabilité dans le cas général, c'est ça:
Tu as une fonction f de E dans F où E et F sont des espaces vectoriels normés, en général de dimension finie (en fait c'est f fonction de U, ouvert de E, dans F, mais bon ...).
f différentiable en a <=> il existe une fonction L linéaire continue de E dans F telle que f(a+h) = f(a) + L(h) + h.epsilon(h)
où epsilon de h est une fontion dont la norme tend vers 0 quand la norme de h tend vers 0 (h.epsilon(h) = o(h) si tu connais cette notation).

La fonction linéaire dépend de a bien sûr, elle s'appelle la différentielle de f en a (si elle existe elle est unique).

Dans le cas F=IR, une fonction linéaire est de la forme x -> alpha.x (alpha constante), donc tu retrouves bien la dérivabilité classique.

Voilà de quoi réfléchir

matthias a écrit:(h.epsilon(h) = o(h) si tu connais cette notation).

C'est comme dans les DL ?

Oui, c'est un "petit o", sauf qu'ici h est un vecteur, pas nécessairement un réel, et pareil pour la valeur de la fonction (c'est pour ça que j'ai dit que la norme de epsilon tend vers 0 quand la norme de h tend vers 0, ce qui en fait est la même chose que de dire epsilon tend vers 0 quand h tend vers 0, mais je ne savais pas si tu étais familier avec la convergence dans les espaces vectoriels normés).

matthias a écrit:mais je ne savais pas si tu étais familier avec la convergence dans les espaces vectoriels normés).

Non, je connais vraiment le strict minimum à ce sujet.

Rien de bien sorcier, an tend vers a si ||an - a|| tend vers 0, c'est la définition. En fait on a même pas besoin de norme, une distance suffit.

Autre question : c'est quoi l'équation de la tangente en M d'une courbe paramétrée ?

Si le point est régulier, dM/dt est un vecteur directeur de la tangente. Avec un vecteur directeur et un point, il n'y a plus grand-chose à faire.

Dans le cas général, tu prends p le plus petit entier naturel (s'il existe) tel que :
d^p M / dt^p est non nul. Ce vecteur sera alors un vecteur directeur de la tangente.
Ca se montre avec Taylor et la position limite de la sécante (rien de bien difficile si tu y regardes de près).

Donc une équation est de la forme : y = f'(to)(t-to)+f(to).

Mais dans le cours, on a trouvé une autre forme de l'équation...

Julien a écrit:Donc une équation est de la forme : y = f'(to)(t-to)+f(to).

Mais dans le cours, on a trouvé une autre forme de l'équation...

Oui, enfin là tu as pris le cas, x = t et y = f(t), ce qui est vraiment le cas le moins intéréssant de courbe paramétrée et certainement pas le cas général ...

Si tu prends x(t) et y(t), tu ne trouves pas la même chose. Je te rappelle que dM/dt est un vecteur de coordonnées (x'(t);y'(t)) !

[EDIT : ça marche ausi en dimension n quelconque, pas besoin de rester dans le plan]

D'accord, merci pour ces précisions.