Périodicité de la fonction caractéristique de Q

La prof de maths nous a brièvement parlé de la fonction caractéristique de Q (les rationnels) en la définissant ainsi :
x=0 si x n'est pas rationnel
et
x=1 si x est rationnel

Elle nous en a parlé pour illustrer la périodicité mais en quoi est-elle périodique ? Je ne vois aucune période possible...

si, elle est périodique, de période n'importe quel élément de Q. En effet:

chi(x+a/b) = chi(x) car si x est irrationnel, x+a/b également, et inversement ^^

Ca veut dire quoi chi ?

chi c'est une lettre grecque, couramment utilise pour designer les fonctions indicatrices. ce que doktor veut dire, c'est que :

soit q un rationnel quelquonque :

- x appartient à Q => x+q appartient à Q donc chi(x) = chi(x+q) = 1
- x n'appartient pas à Q => x+q n'appartient pas à Q donc chi(x) = chi(x+q) = 0

donc chi est q-périodique.

C'est pas une périodicité très interessante...

non, pas dans l'absolu, mais pour illustrer le concept de periodicite je la trouve interressante, puisque elle est un peu plus "bizzare" que l'habituel sinus dont on se sert en general. la sinusoide devient une espece de "caricature" de la periodicite, et sortir une fonction non continu avec une infinite de periode non multiples les unes des autres, c'est original.

oui mais dans la définition d'une période, il y a le "plus petite possible" qui traine, et comme Q est dense dans IR, la période devrait être nulle...

le_duche a écrit:oui mais dans la définition d'une période, il y a le "plus petite possible" qui traine, et comme Q est dense dans IR, la période devrait être nulle...

Justement non !
Une fonction est t-périodique si pour tout x f(x+t)=f(x).
S'il existe un plus petit t>0 tel que f(x+t)=f(x), alors la période est t. Sinon on dit simplement que t est une période.
Ainsi la fonction caractéristique de Q est bien périodique, mais n'a pas de période.
Il en est de même des fonctions constantes par exemple. C'est justement un exemple très intéressant parce qu'il permet d'exhiber une fonction périodique non constante, et n'ayant pas de (plus petite) période.

a+

Hoooo le vieux topic !
Tu as tout à fait raison... et je remet fortement en cause ma dernière remarque sur l'utilité d'une telle périodicité.
C'est en effet une etude proche de ce qu'à fait Lebesgue de façon bien plus généralisée bien entendu... dans son développement de la mesure sur IR et de l'intégration...

remarquez qu'il est interessant aussi d'entrevoir la notion de modulo avec les rationnels et irrationnels.
Par exemple, V2 et V3 n'ont pas le meme reste modulo les rationnels, mais V2 et 1+V2 bien !