Formule de Stirling

Juste pour épater la galerie (enfin les lycéens) :
essayez de comparer n! et sqrt(2n.pi)(n/e)^n pour des grandes valeurs de n

J'ai divisé le sujet puisqu'il n'avait plus de rapport avec le précédent, Julien

ben de tte facon tu va pas ramener ton ordi pour passer le bac

j'ai essayé de tracer la fonction avec ma calculette cela ne marche pas![/i]

le but de la fonction de Stirling n'est pas d'être tracée

Pour la lisibilité... voici la fonction de stirling dont parlait matthias :

Ce n'est pas une fonction, mais la formule de stirling. le symbole désigne "équivalent", c'est à dire que quand n->inf, le rapport des 2 temes tend vers 1. C'est assez infâme à démontrer (une méthode par des séries en passant au ln, mais qui ne permet pas de déterminer le sqrt(2*pi), et une avec les intégrales de Wallis, bien violente), et c'est hors-prog en sup désormais (enfin on le fait quand même....). ça ne peut pas être tracé, puisque ça donne une relation entre 2 expressions. j'en ai un mauvais souvenir de Stirling

eh a quoi sert cette fonction!
merci de m'expliquer svp!

KIKRAMMSTEIN a écrit:eh a quoi sert cette fonction!
merci de m'expliquer svp!

en gros, tu sais que quand n-> infini, n! se comporte en gros comme (n/e)^n etc... ça sert de temps en temps (ça m'a servi une fois sur un sujet de concours), mais c'est tout.

KIKRAMMSTEIN a écrit:eh a quoi sert cette fonction!
merci de m'expliquer svp!

Déjà, à fournir de super exos en prépa
Plus sérieusement je ne sais pas trop, je sais qu'on peut aussi généraliser la notion de factorielle aux nombres non entiers avec les fonctions Gamma, faudrait que je revois ça ...

matthias a écrit:

KIKRAMMSTEIN a écrit:eh a quoi sert cette fonction!
merci de m'expliquer svp!

Déjà, à fournir de super exos en prépa
Plus sérieusement je ne sais pas trop, je sais qu'on peut aussi généraliser la notion de factorielle aux nombres non entiers avec les fonctions Gamma, faudrait que je revois ça ...

exact, avec les fonctions d'Euler, Gamma, on définit factorielle sur R (Gamma vaut n! pour n entier, et vérifie la même récurrence, c'est à dire Gamma(x+1)=(x+1)*Gamma(x) pour tout réel positif. mais l'expression est un peu compliquée....

Gamma(x) = intégrale entre 0 et 1 de exp(-t)*t^(x-1) dt.

Par contre je crois pas qu'il y ait de rapport avec Stirling, là c'est une relation exacte, pas seulement une équivalence.

n'empeche sa a l'aire super interressant

merci pour ta clareté Herr dOktor

Doktor a écrit:Gamma(x) = intégrale entre 0 et 1 de exp(-t)*t^(x-1) dt.

Par contre je crois pas qu'il y ait de rapport avec Stirling, là c'est une relation exacte, pas seulement une équivalence.

Pas de rapport direct, en effet. Mais il me semble bien qu'on peut retrouver le même genre d'expression. Il doit même être possible de démontrer la formule de Stirling en passant par Gamma, mais je t'accorde que c'est un peu capilotracté.

Pour ceux que ça intéresse :
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

matthias a écrit:

Doktor a écrit:Gamma(x) = intégrale entre 0 et 1 de exp(-t)*t^(x-1) dt.

Par contre je crois pas qu'il y ait de rapport avec Stirling, là c'est une relation exacte, pas seulement une équivalence.

Pas de rapport direct, en effet. Mais il me semble bien qu'on peut retrouver le même genre d'expression. Il doit même être possible de démontrer la formule de Stirling en passant par Gamma, mais je t'accorde que c'est un peu capilotracté.

Pour ceux que ça intéresse :
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

Tout à fait, on est pas des tétracapillotomistes non plus (j'adore ces 2 expressions )

Doktor a écrit:Par contre je crois pas qu'il y ait de rapport avec Stirling, là c'est une relation exacte, pas seulement une équivalence.

C'est quoi une relation exacte ? C'est plus fort qu'une équivalence

Julien a écrit:

Doktor a écrit:Par contre je crois pas qu'il y ait de rapport avec Stirling, là c'est une relation exacte, pas seulement une équivalence.

C'est quoi une relation exacte ? C'est plus fort qu'une équivalence

En l'occurence la relation exacte est une égalité.
Doktor l'a déjà dit mais je répète:
deux suites sont dites équivalentes en + infini si le quotient de leurs termes tend vers 1 en +infini.

Julien a écrit:

Doktor a écrit:Par contre je crois pas qu'il y ait de rapport avec Stirling, là c'est une relation exacte, pas seulement une équivalence.

C'est quoi une relation exacte ? C'est plus fort qu'une équivalence

là c'est une égalité. Pour une équivalence, il n'y a pas égalité, tu sais juste que ça tend vers 1 le rapport des 2.

Ex: (2+x) ~ (2-x)
(x->0)

(n^2+n) ~ (n^2-x)
(n->+infini)

edit: grillé

Doktor a écrit:(n^2+n) ~ (n^2-x)
(n->+infini)

edit: grillé

C'est un x ??? C'est pas un n ?

Doktor a écrit:edit: grillé

Pas vraiment, je n'avais parlé que de suites

Julien a écrit:

Doktor a écrit:(n^2+n) ~ (n^2-x)
(n->+infini)

edit: grillé

C'est un x ??? C'est pas un n ?

les 2...j'ai mis un x pour montrer que ça peut être n'importe quoi du moment que c'est négligeable devant n^2 quand n -> inf.

Doktor a écrit:les 2...j'ai mis un x pour montrer que ça peut être n'importe quoi du moment que c'est négligeable devant n^2 quand n -> inf.

D'accord... merci !

KIKRAMMSTEIN a écrit:eh a quoi sert cette fonction!
merci de m'expliquer svp!

A l'époque où elle a été inventée, il n'y avait pas de TI92 pour calculer les factorielles, donc elle permettait de d'avoir une estimation. En plus, la factorielle ne peut être calculée exactement que par récurrence, et c'est toujours plus pratique d'avoir le "terme général"...

La formule de Stirling est un développement asymptotique de la fonction gamma je crois, En fait on peut l'obtenir à des ordres supérieurs....

Mais c'est pas trivial, ca fait justement quelques jours que j'essaie de voir ca...