Droites parallèles à l'infini

Salut !

J'ai lu que dans la géométrie euclidienne, deux droites ne se coupent qu'à l'infini alors que jusqu'à présent, on m'a toujours dit que deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais...

Où est le problème ?

Pas vraiment de problème, c'est la même chose. Sauf que la première version ne signifie pas grand-chose, à moins de se placer dans un contexte précis (il existe des théories mathématiques où on inclue l'infini dans les ensembles considérés).

matthias a écrit:Pas vraiment de problème, c'est la même chose.

Mais concrètement... deux droites parallèles ne peuvent pas se couper, même en l'infini... si ?

Julien a écrit:

matthias a écrit:Pas vraiment de problème, c'est la même chose.

Mais concrètement... deux droites parallèles ne peuvent pas se couper, même en l'infini... si ?

Pas dans les théories classiques, non.

matthias a écrit:Pas dans les théories classiques, non.

Et dans quelles théories, alors ?

Je connais juste les géométries de Riemann et de Lobatchevski, mais juste de nom... C'est de ça dont tu parles ?

Julien a écrit:Et dans quelles théories, alors ?

Je ne pourrais pas vraiment te répondre, c'est des trucs que je n'ai jamais étudié. Faudrait peut-être voir du côté des géométries projectives.

Julien a écrit:Je connais juste les géométries de Riemann et de Lobatchevski, mais juste de nom... C'est de ça dont tu parles ?

Non. Les géométries de Riemann et Lobatchevski sont obtenues en remplaçant l'axiome des parallèles, par un autre axiome.
En géométrie euclidienne, si tu considères une droite et un point n'appartenant pas à cette droite, il passe une unique parallèle par ce point.
Mais tu peux le remplacer par: il ne passe aucune parallèle, ou au contraire il passe une infinité de parallèles.

meme si j'ai "quelques" oublis (voir nombreux), les mats m'ont
toujours intéressé,...
et je lisais justement un bouquin (les inattendus
mathématiques),qui parle des géomètres qui ont longtemps espérer
démontrer l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes de la
géométrie !!!

C'est pour moi (quelques vagues souvenir), encore abstrait, mais
j'avais cherché après ces "théorèmes", et j'étais aririvé a cet article,
qui parle de la théorie de gauss :
http://www.cosmovisions.com/geometrie.htm
Cela reste peu "compréhensible" ("utilisable"!!) à mon niveau,

Mais si cela peut vous aider dans vos recherche ...
(humblement) kilzon !!!

vous pouvez aussi aller voir ici:
http://serge.mehl.free.fr/anx/geo_non_eucl.html

Deja ces droites sont dans l'espace ou dans le plan?

songi a écrit:Deja ces droites sont dans l'espace ou dans le plan?

La question serait plutôt, "Qu'est-ce qu'une droite ?". Parce que ta question s'inscrit déjà dans une géométrie euclidienne.
Dans l'approche axiomatique on ne définit pas le mot droite (ni plan, point, etc), on donne juste des propriétés fondamentales auxquelles obéissent divers objets. On peut ensuite calquer des modèles sur le système d'axiomes.
Un des moyens de voir que l'axiome des parallèles ne se déduit pas des autres axiomes d'Euclide est de le remplacer par celui considérant que par un point extérieur à une droite, il ne passe aucune parallèle et de calquer un modèle dessus pou montrer que ça n'engendre aucune contradiction.
Un modèle simple est de considérer que le "plan" est une sphère de centre O et que les droites sont les grands cercles (cercles de centre O inclus dans la sphère).

Mais meme , elle ne se coupent pas , car l'infini n'est pas present dans ce cas la!
Mais infini est un point quelconque sur la droite pourrait on dire , n'importe point de la droite se situe a infini d'un autre point donc e seul cas qui parrait bete est que 2 droites sont superposes , et que chaque point est l'infini
Mais bon , infini est mystere , on ne devrait peut etre pas le faire exister car on l'assimile trop a un nombre

songi a écrit:Mais infini est un point quelconque sur la droite pourrait on dire , n'importe point de la droite se situe a infini d'un autre

Euh ...
Non.

songi a écrit:Mais bon , infini est mystere , on ne devrait peut etre pas le faire exister car on l'assimile trop a un nombre

Il suffit de se contenter de l'utiliser dans un cadre rigoureusement défini.

Si on prend 2 droites parallèles, et que l'on passe dans la sphère de Riemann.
Les droites se coupent bien à l'infini, non?
Ce qui est un peu plus rigoureux de définir une interesection à l'infini.
Sauf erreur évidemment...

otto a écrit:Si on prend 2 droites parallèles, et que l'on passe dans la sphère de Riemann.
Les droites se coupent bien à l'infini, non?
Ce qui est un peu plus rigoureux de définir une interesection à l'infini.
Sauf erreur évidemment...

On est d'accord, mais disons qu'il est préférable pour des lycéens d'éviter ce genre de formulations avant de pouvoir les justifier rigoureusement. Je crois que le fait de dire que des droites parallèles se coupent en l'infini était utilisé avant Riemann, les fonctions holomorphes, les variétés etc, mais ça peut vite devenir dangereux si on l'utilise à tort et à travers. Quand on voit le nombre de pseudo-paradoxes utilisant l'infini, il vaut mieux être prudent.
En plus c'est totalement inutile pour faire de la géométrie euclidienne

De toutes facons je savais que je disais n'importe quoi , mais je disais comme ca , jsuis qu'en seconde moi , alors la sphere , euclide... c'est pas encore mon niveau