Sous-espace vcectoriel

Bonjour à tous

je n'arrive pas a trouver cet exercice :
Soit F un sev strict de E non-réduit à 0 et G son complémentaire dans E et H=G {0}. H est-il un sev de E ?

Je ne vois pas du tout comment faire, j'ai essayé avec la définition mais ça n'aboutit pas. J'espère que vous pourrez m'aider !!!

Déjà, comme ça, tu as une idée si H est sev de E ou pas ?

Je sais que c'est faux mais je ne sais pas comment le montrer ! J'ai cherché un contre-exemple mais j'y arrive pas.

En effet, ça n'en est pas un. On va donc raisonner par l'absurde.

Soit (x,y) FxH différent de (0;0).

Supposons que x+y F. Comme y=(x+y)+(-x) avec les deux termes de la somme appartenant à F, on a donc y F. Or F H donc y=0 (car F H={0} or on a pris dès le départ y différent de 0 !

Donc x+y n'est pas dans F donc il est dans son complémentaire G donc dans H !

De même, on montrerait que x=0.

Conclusion : H n'est pas un sev de E.


Tu es d'accord ?

Oui à présent je vois mieux ce qu'il fallait faire ! Merci beaucoup Julien !!!

Juste un dernier truc, on a pas fait le cas où (x,y) n'est pas différent de (0,0 Ca marche quand-même ?

De rien !

Et pour le "dernier truc", H est non réduit à 0 sinon on aurait F = E. Donc on peut prendre (x,y) différent de (0,0).

OK merci encore pour ton aide Julien !