Perdue dans une limite !!!

Bonsoir !

Je croyais avoir compris les limites mais là je viens de me rendre avec cet exercice qu’en fait non ! Je trouve un résultat qui ne correspond pas avec celui de la correction, et je ne vois pas du tout là ou j’ai fait une erreur. Please, save me ^_^

Le but est de chercher la limite de x/(1-cosx) en 0

Lim x =0 quand x tend vers 0
Lim (1-cosx)=0+ que x tende vers 0+ ou 0- puisque cosx=cos(-x)
Lim 1/(1-cosx)=+infini en 0+ et en 0-

Donc par produit des limites on obtient :

lim x/(1-cosx)= 0+ quand x tend vers 0+
lim x/(1-cosx)= 0- quand x tend vers 0-

Cependant la correction indique que la limite de cette fonction en 0+ = +infini et en 0-= -infini.
Quelqu’un peut-il m’expliquer ? Je n’y comprends plus rien ^_^

Bonsoir !

Alors, tu as plusieurs pistes possibles.

Le plus simple, c'est avec les développements limités, mais si t'es en terminale, t'as pas dû voir ça encore...

Sinon, tu peux transformer 1 - cos(x) en 2sin²(x/2) pour écrire ta limite autrement.

Ou encore, tu peux partir avec le taux d'accroissement en 0 de cos qui est [cos(x)-1]/x.

Dis-moi avec quoi tu veux partir.

Hum, tu pourrais me montrer avec les trois méthodes stp?
On va dire pour commencer, j'aimerais bien comprendre la correction qui a utilisé le taux d'accroissement de la fonction cosinus en 0.
Donc lim du taux d'accroissement en 0 = -sin(0) =0
Mais ensuite? Je dois dire que l'inverse de [cos(x)-1]/x = x/[cos(x)-1]
et donc, que la limite de x/[cos(x)-1] équivaut à la limite de l'inverse de 0 = lim 1/0 ?

Je crois que je n'ai jamais résolu un exercice sur les limites comme ça lol (ça me semble bizarre)

Pour la 3° méthode, c'est ce que tu as fait en gros... après, pour une rédaction correcte, c'est autre chose !

Pour la 2° méthode, connais-tu l'équivalent de sin(x) en 0 ?

Pour la 1° méthode, il faut se servir du développement limité de cos en 0 qui vaut :

Tu veux bien me rédiger correctement 3° méthode stp? Je n'ai jamais réussi à le faire correctement.
=> Si je connais l'équivalent de sin(x) en 0?
Tu parles de sin0=0 ou de la limite du taux d'accroissement de la fonction sinus = cos0=1? Ou tu parles d'autre chose?
Mais pour en revenir à ma première résolution, je ne vois toujours pas où est l'erreur...

Je t'en demande pas mal...dsl

Je numérote pour que tu puisses répondre à chaque méthode si besoin est.

1) Alors l'équivalent de x en 0 est x. Si tu regardes sur un graphe, autour de 0, les droites y1=x et y2=sin(x) sont "équivalentes". Du coup, un équivalent de sin²(x)/2 serait quoi... ?

2) Pour ta première rédaction, le problème vient lors de ton produit des limites qui n'est pas correct : 0* est une forme indéterminée !

3) Pour ce qui est du développement limité (à l'ordre 2 de cos), cos(x) = 1-x²/2 + o(x²) (ne fais pas gaffe au o(x²) si tu ne connais pas les DL)
donc 1-cos(x)=x²/2 + o(x²) x²/2 (je zappe le o(x²) car tu ne connais pas, mais c'est mal ! ^^
donc x/(1-cos(x))=2/x.

Et là, tu trouves très vite la limite quand x tend vers 0⁺ ou 0^-...

4) Pour la limite du taux d'accroissement, est-ce-que tu connais ceci ?

Ecris-le en 0 puisque nous cherchons une limite en 0...

Bah dis donc, je t'aurais bien embêté avec mes petites limites!

1) Effectivement! mais il fallait y penser ^_^: si on dit que sinx=x en 0
Je dirais que sin²(x)/2 = x²/2 ?

2)Ah oui c'est vrai...

3) Han mais c'est génial le développement limité !!!
Par contre tu t'es arrêté à l'ordre 2 parce que les termes suivants de la suites se rapprochent de 0 et donc que ça n'était pas nécessaire de les calculer? ou pour une autre raison? En fait c'est le o(x²) qui remplace ces termes?
Est ce qu'on a le droit d'utiliser d'autres techniques de calcul qui ne sont pas au programme au lycée pour le bac par exemple ou tout simplement pour un contrôle? Parce que là au moins avec le développement limité je suis sûre de ne pas faire n'importe que avec les formes indéterminées ^_^
En fait on avait un peu vu ça en première S sans mettre le nom dessus:
par exemple quand x se rapproche de 0 on avait vu que (x+1)² ~ 1+ 2x

Merci beaucoup de m'avoir appris une nouvelle méthode ^_^ !!!
Il existe une formule pour tout x? (pas forcément pour x qui tend vers 0?)

Tu as raison de me solliciter ! ^^

1) Oui sauf que c'est sin²(x/2) et non sin²(x)/2. Du coup, 1 - cos(x) = 2sin²(x/2) ~ 2*(x/2)² = x²/2 et x/(1-cos(x)) est donc équivalent à x/(x²/2)=2/x. On retrouve notre 2/x des développements limités !

2) No comment... ^^

3) Oui c'est génial, tu ne feras plus que ça après le bac (ou presque !) mais en attendant, tu n'as pas le droit de l'utiliser... mais rien ne t'empeche de vérifier un calcul de limite avec les DL. C'est très rapide ! Sinon, si je me suis arrêté à l'ordre 2, c'est en effet parce que ça ne sert pas d'aller plus loin ! Et il existe aussi des DL en a.