Section de tétraèdre par un plan

Euh je me permets de mettre un autre exercice de mon DM

Soit un point I du plan (BCD)
Soit le plan P passant par le point I et parallèle aux droites (BC) et (AD).




a) Construire, en expliquant, la section du tétraèdre ABCD par le plan P.

b) Nature de cette section. (Justifier)

Merci de m'aider x)

Tu ne t'es pas trompée dans l'énoncé par hasard ?

Non

Je n'arrive pas à m'imaginer le plan P... avec ton énoncé. Tu es sûre que tu n'as pas fait d'erreurs pour les noms des points; même sur la figure? Oo
Julien, aide nous stp ^^

Si si ça marche !

En gros, la section que tu vas obtenir aura la forme d'un toit. La base du toit sera les 2 droites parallèles (BC) et (EF) où (EF)=P (ABC). Le "toit" du toit sera l'arête issue de l'intersection de P et de la face (BCD). Cette arête est parallèle aux deux précédentes. Les 2 faces du toit sont des trapèzes et la face (EFI) est parallèle à la droite (AD). Enfin, la base du toit est également un trapèze.

Vous voyez mieux maintenant ? J'attends vos questions !

Merci! Oui de mon côté je pense avoir compris;



Dis moi si je me suis trompée ^^

En effet, le dessin de C-line est tout à fait exact.
Pour la construction:

1. Tracer le segment de droite sur la face BCD, parallèle à BC et passant par I. Cela fournit deux points sur les bords de la faces, je les appelle Bi et Ci.

2. Tracer le segment de droite sur la face ABD, parallèle à AD et issu de Bi. Cela fourni un autre point de bord que j'appelle E.

3. Tracer le segment de droite sur la face ACD, parallèle à AD et issu de Ci. Cela fourni un autre point de bord que j'appelle F.

4. Enfin, tracer le segment EF.


Contrairement à ce qu'a dit Julien, cela ne forme pas un trapèze (enfin, si, mais pas seulement un trapèze).
Le segment [Ci,Bi] et le segment [E,F] sont tous les deux parallèles à la droite BC, ils sont donc aussi parralèles.
De même, les segments [Bi,E] et [Ci,F] sont parralèle à la droite AD, ils sont donc aussi parallèles.
On a donc au moins un parallélogramme.
On peut maintenant se demander si ça pouvait être mieux qu'un parallélogramme (un rectangle par exemple, ou un losange).

On peut tout de suite exclure le losange: en effet, il n'y a pas de contrainte sur I, on peut donc l'imaginer très près de D. Dans ce cas, le segment [Bi,Ci] serait très petit, et le segment [Bi,E] serait beaucoup plus grand, ce qui empêche d'avoir un losange (qui est un quadrilatère dont les quatres côtés sont de même longueur).
Mais cet argment ne permet pas d'exclure la possibilité d'un rectangle.

Pour se rendre compte que ce n'est pas un rectangle on va se demander si l'angle FEBi est toujours un angle droit, et immaginons que ce soit toujours le cas. Le segment EF état horizontal, le point Bi devrait obligatoirement se trouver à la verticale de la droite AB (pas nécessairement à la verticale de E hein !) Or cela ne peut se produire que si D est à la verticale de la droite AB également, et il n'y a pas de contraintes sur D qui pourrait pa exemple être à la verticale du point C. Donc ce n'est pas un rectangle.

Ainsi la section de plan est un parallélogramme non rectangle et non losange.

Euh... pourquoi j'ai parlé de "toit" moi alors qu'il s'agissait uniquement de la section d'un plan avec un tétraèdre ???

Bon, on va dire que j'ai dégrossi le problème, C-line la représenté sur le schéma et que notre cher grand Duche l'a démontré !

Eh bien eh bien! On forme une bonne petite équipe

Oui une très bonne équipe même

Merci beaucoup !