problèmes avec les complexes

bonjour, j'ai un problème avec cet exo:


Soit z un nombre complexe de module 1. Montrer que soit |z+1|² 1 soit |1+z²| 1


Après avoir cherché, je m'apercoit qu'on a tracé 2 cercle dans la correction (le cercle de rayon 1 et ayant pour origine O et un autre). Or ce que que je ne comprend pas c'est pourquoi avoir tracé deux cercles?

Merci de me répondre

|z+1|=1 , l'ensemble des nombres complexe z représentant cette écriture correspond à un cercle.

En effet soit A d'affixe (-1), la distance entre z et A vaut donc |z-A|. Si |z-A| = 1, cela veut dire que z, étant la seule variable, doit être placé à une distance d valant 1 du point A, ce qui correspond à un cercle.

oui mais à quoi sert le deuxième cercle?

Le premier représente tout les nombres complexes ayant pour affixe z=1, quels sont les caractéristiques du deuxième cercle ? (centre, rayon ?)

le deuxième cercle est de rayon 1 son centre se situe à l'intersection du cercle et de l'axe des abscisses négatif

Je ne voudrais pas raconter de bêtises alors j'aimerais voir si mon raisonnement colle, qu'elle est la réponse donné dans la correction ?

ben le but était de montrer les 2 inégalités précédentes

Donc elles sont toutes les deux justes ? Parce qu'au début je pensais qu'une seule des deux étaient juste à cause du "soit".
Le deuxième cercle représente mon |z-A|. Le premier représente tout les nombres complexe z de module 1.

|z+1| représente le module, c'est à dire la distance entre z et A, ici A est le centre du deuxième cercle.

Je pense donc :

- si l'expression |z+1|² 1 était vrais les deux cercles ne devrait pas se couper. Car si ils se coupent cela veut dire que que par moment |z+1| 1 et donc |z+1|² 1.

- si l'expression |1+z²|
1 est vrais, si le cercle de centre -1 ne coupe pas le cercle
représentant les z², qui est le même que celui représentant les z.

oui elle sont tous les 2 justes
dans la correction on a posé z=ei afin de démontrer les 2 inégalités

Oui, donc z²=e^2iteta teta étant la lettre grec.

1+z = 1+e^iD (D=teta)

= 1 + cos(D) + isin(D)

|1+z|² > 1

Calculons ce module

(1+cos(D))²+sin(D)²)

1+2cosD+cos(D)² + sin(D)²

2 + 2cos(D)²

Or 0 < 1 lorsque D [0 ; /2]

donc 0<1

donc 0<2cos(D)²<2

donc 2 < 2+2cos(D)² < 4

Lorsque D [ /2 ; ]

-1 < cos(D) < 0

1 > cos(D)² > 0

2 > 2cos(D)² > 0

4 > 2+2cos(D)² > 2

Dans tout les cas l'expression est supérieur à 1

Pour la deuxième c'est la même chose sauf que l'on remplace D par 2D vu que l'on est passé au carré, il ne faut pas oublier la racine pour le deuxième. On obtient donc :

((1+cos2D)²+(sin(2D)²) = (2+2cos(2D))

Comme vu avant 0<2cos(2D)<2

Donc 2<2+2cos(2D) < 4

Donc :sqrt:2 < (2+2cos(2D)) < 2

Or 2 > 1 donc la deuxième affirmation est donc vrais.

DEB a écrit:Donc elles sont toutes les deux justes ? Parce qu'au début je pensais qu'une seule des deux étaient juste à cause du "soit".

Le soit signifiait qu'il ne fallait en montrer que 1 de 2 (d'ailleurs un élève qui montrerait que les 2 sont vraies n'aurait pas les points au bac)

Rigelkrieg a écrit:

DEB a écrit:Donc elles sont toutes les deux justes ? Parce qu'au début je pensais qu'une seule des deux étaient juste à cause du "soit".

Le soit signifiait qu'il ne fallait en montrer que 1 de 2 (d'ailleurs un élève qui montrerait que les 2 sont vraies n'aurait pas les points au bac)

Merci pour cette précision. Pourquoi ne pas lui donner les points ?

Car l'élève ne respecte pas l'énoncé, on lui demande 1 OU l'autre... (c'est con je sais lol) dans le meilleur des cas on lui mettra un petit moitié des points au moment de la réunion du jury quand on relève les notes (sauf si il a pas de chance et que dans son jury le nombre des reçus dépasse les 80% ^^

En effet je trouve que c'est injuste quand même.

bah ca répare les injustices dans l'autre sens... quand on doit mettre des points sur des définitions alors que ce qui est écrit ne veux rien dire par exemple... (il suffit qu'il y ai 3 mots clés quelque soit l'ordre et leur orthographe... :s)

Après il faut voir aussi que cela prépare (en théorie :p) a la vie future. Savoir lire une consigne et y répondre...

Par ex si l'on demande la définition d'un atome si l'on répond :

"Noyau qui tourne avec des électrons et des protons", on peut avoir tout les points ? (Si les mots clés sont protons, électrons et noyau ?)

oui c'est tout a fait l'esprit débile des corrections XD

Je ne savais pas qu'écrir des définitions qui n'ont aucun sens préparait à la vie future ! Ah ça doit être ça que je n'avait pas compri !

bah oui... ca s'apelle le double language de l'éducation nationale... on sacque pour préparer a la vie future mais on tiens a notre taux de reussite :p

C'est l'esprit français ^^