Mathématiques mises en formes

«En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habitue», a jadis consenti John von Neumann. Ceux pour qui l’algèbre, la géométrie ou l’analyse combinatoire restent au mieux de mauvais souvenirs d’école ne manqueront pas de tomber d’accord avec le mathématicien américano-hongrois, inspirateur des ordinateurs modernes. Mais pas Tom Coates ni Alessio Corti, de l’Imperial College de Londres.

A l’image des chimistes qui ont rempli le fameux «tableau de Mendeleïev» afin de mieux appréhender la matière dans ses éléments constitutifs les plus simples, les atomes, ces mathématiciens ambitionnent d’établir un «tableau périodique des formes». Une sorte de répertoire de «briques géométriques» élémentaires, qu’on pourrait qualifier de formes «atomiques» , grâce auxquelles la construction de toutes les formes existantes dans la nature pourrait être mieux comprise. Et cela pas uniquement dans des mondes à deux (2D) ou trois dimensions (3D), comme le nôtre, mais aussi dans des univers à quatre, voire cinq dimensions!

Un passionnant et stimulant exercice d’abstraction mentale, dont raffolent les mathématiciens, et qui pourrait s’avérer utile en cosmologie ou en robotique. Une activité ludique aussi, puisque les chercheurs se sont amusés à représenter ces formes, aussi diverses et multiples que des flocons de neige.

«De tout temps, les scientifiques ont eu pour ambition de découvrir les formes minimales, et de les classer, explique Nicolas Monod, professeur de mathématiques à l’EPF de Lausanne. Cela a commencé avec Platon, il y a 2400 ans, puis Euclide, qui ont découvert qu’il n’existait que cinq polyèdres réguliers inscriptibles dans une sphère (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre).» Depuis, les matheux ont fait du chemin.

«Nous souhaitons, nous, classer les formes qui sont des espaces parfois courbés et qui n’ont pas de bord», explique Tom Coates. Cela revient à répertorier les formes qui, en langage savant, peuvent être définies par des équations algébriques. «La plus basique d’entre elles, en 2D, est alors simplement… le plan.» Ce genre d’objet mathématique a pris le nom de «variété de Fano», du nom du mathématicien italien Gino Fano. Vers 1930, celui-ci a montré qu’il existait, en deux dimensions, exactement 10 de ces formes basiques, qu’il est impossible d’exprimer en procédant à une combinaison d’autres formes.


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