Bornes d'un ensemble...

Soit A non vide majoré. Donc A admet une borne supérieure dans R.

On a aussi -A est non vide et minoré donc -A admet une borne inférieure dans R.

Comment prouver alors que Inf(-A)=-Sup(A) ?

En revenant à la définition de inf et sup (plus grand des minorants ...)
Il suffit donc de montrer que (-SupA) minore (-A) et que si m minore (-A) alors m <= (-SupA).

Alors je passe par deux inégalités de sens contraire qui aboutissent à l'égalité visée ?

Je ne comprends pas trop ta question.
Tu peux évidemment démontrer (-SupA) <= Inf(-A) et (-SupA) >= Inf(-A), mais c'est tout aussi immédiat de voir ce que je t'ai proposé comme la définition de la borne inférieure. Si (-SupA) est le plus grand des minorants de (-A), c'est Inf(-A) par définition.
Ou alors j'ai pas compris ce que tu voulais dire.

matthias a écrit:Si (-SupA) est le plus grand des minorants de (-A), c'est Inf(-A) par définition.

D'accord, c'est plus facile comme ça, mais je ne connaissais pas cette définition alors, je me demande si j'ai le droit de l'utiliser...

Ah, et tu connais quoi comme définition ?

Je sais juste qu'une partie non vide majorée admet une borne supérieure et qu'une borne supérieure est le plus petit des majorants.

Donc tu es en train de me dire que tu n'avais pas de définition de la borne inférieure ou que ce que tu voulais démontrer dans le premier message constituait une définition (ce qui serait possible mais pas très malin, parce que ça marcherait dans R mais pas dans tous les ensembles).

Sinon tu peux aller voir le tutorial que j'avais fait sur les relations binaires, il y a un tableau récapitulatif et quelques démos sur les bornes sup les max et cie.

matthias a écrit:Sinon tu peux aller voir le tutorial que j'avais fait sur les relations binaires, il y a un tableau récapitulatif et quelques démos sur les bornes sup les max et cie.

OK, merci pour ton aide !