Comparaison série / intégrale

Soit Un=f(n).

Peut-on dire :

La série f(n) converge f est intégrable sur [0; [ ?

Faut-il des hypothèses sur f ?

Il faut d'autres hypothèses sur la fonction f.

Par exemple, la fonction caractéristique de l'ensemble est intégrable sur l'inervalle [0, [ (au sens de Lebesgue) et pourtant la série correspondante diverge.

Je ne connais pas cette fonction mais si je rajoute comme hypothèse que f est positive décroissante sur +, est-ce-que ça marche ?

si tu fais l'hypothèse que ta fonction f est constante sur les intervalles [k,k+1[ ou k est entier, alors c'est effectivement équivalent.

D'accord, c'est l'approximation des intégrales par les rectangles en fait...

Non ce n'est pas une approximation, c'est la valeur exact... il s'agit là d'une somme sur un nombre dénombrable de valeurs... l'intégrale conventionnelle travaille sur un nombre non-dénombrable de valeurs...

le_duche a écrit:si tu fais l'hypothèse que ta fonction f est constante sur les intervalles [k,k+1[ ou k est entier, alors c'est effectivement équivalent.

Exact !

Julien a écrit:Je ne connais pas cette fonction mais si je rajoute comme hypothèse que f est positive décroissante sur +, est-ce-que ça marche ?

Si tu rajoutes en plus que la fonction est mesurable, alors oui, c'est équivalent. En effet, la fonction est alors une fonction mesurable de module majoré par la fonction intégrable donnée par le_duche, et est donc intégrable. Pour la réciproque, c'est rapide aussi si on remarque que la différence entre la somme des aires des rectagles sous la fonction donné par le_duche et l'intégrale de ta fonction est comprise entre 0 et f(0).

D'accord, merci beaucoup à tous les deux pour ces explications !