Problème de Novembre 2006
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Problème de Novembre 2006
par samir Ven 3 Nov 2006 - 9:34
Dernière édition par le Lun 4 Déc 2006 - 9:24, édité 1 fois
samir- Membre
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Re: Problème de Novembre 2006
par samir Ven 3 Nov 2006 - 9:35
Bonjour
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Merci
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samir- Membre
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Re: Problème de Novembre 2006
par Duche Lun 6 Nov 2006 - 17:11
Bweark, me faudra un belle dose de courage pour attaquer celui là ^^
Duche- Modérateur
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samir- Membre
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Re: Problème de Novembre 2006
par ephemere Sam 11 Nov 2006 - 9:05
Solution envoyée.
voici la solution d'ephemère
La moyenne arithmétique des n nombres strictement positifs x_i vaut (5n-4)/n.
La moyenne harmonique des meêms nombres vaut n.
Or, la moyenne arithmétique de nombres strictement positifs vaut toujours au moins la moyenne harmonique de ces mêmes nombres. Il faut donc que (5n-4)/n>=n. De plus, l'égalité (5n-4)/n=n ne peut avoir lieue que si les nombres x_i sont tous égaux entre-eux.
Or, puisque n est un entier strictement positif, il vient :
(5n-4)/n>=n
<=>
n²-5n+4<=0
<=>
(n-1)(n-4)<=0
<=>
n = 1, 2, 3 ou 4.
Traitons les 4 cas possible.
1er cas : n=1.
Alors x_1=1 est évident.
2ème cas : n=2.
Alors x_1+x_2=6 et 1/x_1+1/x_2=1, ce qui est impossible pour des nombres entiers positifs.
3ème cas : n=3.
Alors x_1+x_2+x_3=11 et 1/x_1+1/x_2+1/x_3=1, ce qui conduit obligatoirement à {x_1,x_2,x_3}={2,3,6}.
4ème cas : n=4.
Alors on a l'égalité des moyenens harmonique et arithmétique, ce qui signifie que x_1=x_2=x_3=x_4. De plus, ces nombres doivent être tous égaux à 4 et cela suffit.
Conclusion.
n=x_1=1 OU n=x_1=x_2=x_3=x_4=4 OU n=3 et {x_1,x_2,x_3}={2,3,6}.
Détrompe-toi, il y a une solution élégante (du moins pour borner n très fortement) !le_duche a écrit:Bweark, me faudra un belle dose de courage pour attaquer celui là ^^
voici la solution d'ephemère
La moyenne arithmétique des n nombres strictement positifs x_i vaut (5n-4)/n.
La moyenne harmonique des meêms nombres vaut n.
Or, la moyenne arithmétique de nombres strictement positifs vaut toujours au moins la moyenne harmonique de ces mêmes nombres. Il faut donc que (5n-4)/n>=n. De plus, l'égalité (5n-4)/n=n ne peut avoir lieue que si les nombres x_i sont tous égaux entre-eux.
Or, puisque n est un entier strictement positif, il vient :
(5n-4)/n>=n
<=>
n²-5n+4<=0
<=>
(n-1)(n-4)<=0
<=>
n = 1, 2, 3 ou 4.
Traitons les 4 cas possible.
1er cas : n=1.
Alors x_1=1 est évident.
2ème cas : n=2.
Alors x_1+x_2=6 et 1/x_1+1/x_2=1, ce qui est impossible pour des nombres entiers positifs.
3ème cas : n=3.
Alors x_1+x_2+x_3=11 et 1/x_1+1/x_2+1/x_3=1, ce qui conduit obligatoirement à {x_1,x_2,x_3}={2,3,6}.
4ème cas : n=4.
Alors on a l'égalité des moyenens harmonique et arithmétique, ce qui signifie que x_1=x_2=x_3=x_4. De plus, ces nombres doivent être tous égaux à 4 et cela suffit.
Conclusion.
n=x_1=1 OU n=x_1=x_2=x_3=x_4=4 OU n=3 et {x_1,x_2,x_3}={2,3,6}.
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Re: Problème de Novembre 2006
par Duche Lun 13 Nov 2006 - 13:25
Holàlà ! je ne te laisserai pas être l'unique champion du mois de novembre ! 
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Re: Problème de Novembre 2006
par Duche Mar 14 Nov 2006 - 8:19
Effectivement !
Solution postée.
voici la solution de le_duche
Rappelons tout d'abbord que si x1,x2,...xn sont des nombres réels strictement positifs, alors leur moyenne harmonique n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique 1/n(x1+x2+...+xn), et avec égalité si et seulement si x1=x2=...=xn.
Notre problème est le système suivant:
{ x1+x2+...+xn = 5n-4
{ 1/x1+1/x2+...+1/xn = 1
La remarque ci-dessus nous informe donc que n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)<=1/n(x1+x2+...+xn), c'est-à-dire que n<=(5n-4)/n, ou encoe que n²-5n+4<=0, ce qui nous fournit comme condition sur n que n>=1 et n<=4. Comme on travaille dans les entiers, n peut prendre les valeurs 1,2,3 ou 4.
Si n=1
on a juste à résoudre le système
{ x1 = 1
{ 1/x1 = 1
qui a pour solution x1 = 1.
Si n=2
on regarde le système
{ x1+x2 = 6
{ 1/x1+1/x2 = 1
La seconde équation de ce système peut s'écrire (x1+x2)/x1x2=1, et par la première équation on a que 6/x1x2=1, c'est-à-dire x1x2=6.
Comme on ne peut avoir x1=1 ou x2=1, les seules solutions possibles de la seconde équation sont x1=2,x2=3 et x1=3,x2=2 qui sont en contradiction avec la première équation.
Il n'y a donc pas de solution pour n=2.
Si n=3
on a le problème
{ x1+x2+x3=11
{ 1/x1+1/x2+1/x3=1
On choisit de regarder les solutions x1<=x2<=x3. Ainsi x1<=11/3 et x3>=11/3, c'est-à-dire x1<=3 et x3>=4.
Comme on ne peut avoir x1=1, on a x1=2 ou x1=3. Avec la condition 3<=x1<=x2<=x3, on voit que la seconde équation a pour seule solution x1=x2=x3=3, mais cela entre en contradiction avec la première équation. On a donc x1=2.
On a donc à résoudre le problème
{ x2+x3=9
{ 1/x2+1/x3=1/2
La seconde équation peut s'écrire (x2+x3)/x2x3=1/2, et par la première équation on a que 9/x2x3=1/2, c'est-à-dire x2x3=18.
Comme x2>=2 et x2+x3=9, on a x3<=7. La seule solution à x2x3=18 est donc x2=3 et x3=6.
Si n=4
on a le problème
{ x1+x2+x3+x4=16
{ 1/x1+1/x2+1/x3+1/x4=1
On voit que la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique sont toutes deux égales à 4. Nous avons donc x1=x2=x3=x4=4.
Pour récapituler, les solutions (n,x1,x2,...,xn) du problème initial sont donc
(1,1)
(3,2,3,6)
(3,2,6,3)
(3,3,2,6)
(3,3,6,2)
(3,6,2,3)
(3,6,3,2)
(4,4,4,4,4)
Solution postée.
voici la solution de le_duche
Rappelons tout d'abbord que si x1,x2,...xn sont des nombres réels strictement positifs, alors leur moyenne harmonique n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique 1/n(x1+x2+...+xn), et avec égalité si et seulement si x1=x2=...=xn.
Notre problème est le système suivant:
{ x1+x2+...+xn = 5n-4
{ 1/x1+1/x2+...+1/xn = 1
La remarque ci-dessus nous informe donc que n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)<=1/n(x1+x2+...+xn), c'est-à-dire que n<=(5n-4)/n, ou encoe que n²-5n+4<=0, ce qui nous fournit comme condition sur n que n>=1 et n<=4. Comme on travaille dans les entiers, n peut prendre les valeurs 1,2,3 ou 4.
Si n=1
on a juste à résoudre le système
{ x1 = 1
{ 1/x1 = 1
qui a pour solution x1 = 1.
Si n=2
on regarde le système
{ x1+x2 = 6
{ 1/x1+1/x2 = 1
La seconde équation de ce système peut s'écrire (x1+x2)/x1x2=1, et par la première équation on a que 6/x1x2=1, c'est-à-dire x1x2=6.
Comme on ne peut avoir x1=1 ou x2=1, les seules solutions possibles de la seconde équation sont x1=2,x2=3 et x1=3,x2=2 qui sont en contradiction avec la première équation.
Il n'y a donc pas de solution pour n=2.
Si n=3
on a le problème
{ x1+x2+x3=11
{ 1/x1+1/x2+1/x3=1
On choisit de regarder les solutions x1<=x2<=x3. Ainsi x1<=11/3 et x3>=11/3, c'est-à-dire x1<=3 et x3>=4.
Comme on ne peut avoir x1=1, on a x1=2 ou x1=3. Avec la condition 3<=x1<=x2<=x3, on voit que la seconde équation a pour seule solution x1=x2=x3=3, mais cela entre en contradiction avec la première équation. On a donc x1=2.
On a donc à résoudre le problème
{ x2+x3=9
{ 1/x2+1/x3=1/2
La seconde équation peut s'écrire (x2+x3)/x2x3=1/2, et par la première équation on a que 9/x2x3=1/2, c'est-à-dire x2x3=18.
Comme x2>=2 et x2+x3=9, on a x3<=7. La seule solution à x2x3=18 est donc x2=3 et x3=6.
Si n=4
on a le problème
{ x1+x2+x3+x4=16
{ 1/x1+1/x2+1/x3+1/x4=1
On voit que la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique sont toutes deux égales à 4. Nous avons donc x1=x2=x3=x4=4.
Pour récapituler, les solutions (n,x1,x2,...,xn) du problème initial sont donc
(1,1)
(3,2,3,6)
(3,2,6,3)
(3,3,2,6)
(3,3,6,2)
(3,6,2,3)
(3,6,3,2)
(4,4,4,4,4)
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Re: Problème de Novembre 2006
par samir Lun 4 Déc 2006 - 9:05
pour le cas de n=3 on a aussi les permutations de {2,3,6}ephemere a écrit:
Conclusion.
n=x_1=1 OU n=x_1=x_2=x_3=x_4=4 OU n=3 et {x_1,x_2,x_3}={2,3,6}.[/color]
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Re: Problème de Novembre 2006
par Duche Lun 4 Déc 2006 - 12:18
samir, il l'a mis sous forme d'ensemble {x_1,x_2,x_3} et non de triple (x_1,x_2,x_3) !
Sa solution est donc parfaitement exacte !
Sa solution est donc parfaitement exacte !
Duche- Modérateur
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Re: Problème de Novembre 2006
par ephemere Dim 17 Déc 2006 - 9:19
le_duche a écrit:samir, il l'a mis sous forme d'ensemble {x_1,x_2,x_3} et non de triple (x_1,x_2,x_3) !
Oui.
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