Exercice de recherche niveau terminale

Salut !


Je sèche sur un exercice niveau terminale, qui se trouve à l'adresse suivante :
http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/docum/S_2005.pdf
Il s'agit du n°34.

C'est un exercice de recherche mais je ne sais pas par où commencer...

J'ai envie d'étudier la fonction b^(1/a) ou a^(1/b), mais je ne vois pas trop ce que je peux en tirer...


Auriez-vous une piste ?

Merci d'avance.

Je pense que tu peux t'en sortir en étudiant uniquement x^(1/x)
c'est à dire exp[(1/x)ln(x)]

Soit f(x)=exp[(1/x)ln(x)] définie sur ]0;+oo[.

Alors, pour la dérivée, je trouve :
f'(x)={[1-ln(x)]/x²}exp[(1/x)ln(x)].

Soit 1-ln(x)=0. Vrai pour x=e.

Pour tout x appartenant à ]0;e], f'(x) est positive donc f est croissante sur cet intervalle.
Pour tout x appartenant à ]e;+oo[, f'(x) est négative donc f est décroissante sur cet intervalle.

Le maximum de la fonction est pour x=e et vaut :
f(e)=exp(1/e)

C'est bon jusque là ? Et maintenant, faut que je travaille sur les entiers, non ?

Je calcule les f(x) pour x entier naturel voisin de e, soit :
f(2)=exp[(1/2)ln(2)] = sqrt(2) ~= 1,414
f(3)=exp[(1/3)ln(3)] = racine cubique(3) ~= 1,442.

Le plus grand élément est donc pour x = 3.

Et maintenant, je fais quoi ?

Au fait, merci de m'avoir donné la piste, matthias...

Ca c'est bon.
Maintenant tu cherches le min de a^(1/b) et b^(1/a) suivant que a <= b ou l'inverse. Ensuite, suivant le cas, tu essaies de majorer par a^(1/a) ou b^(1/b).

matthias a écrit:Ca c'est bon.
Maintenant tu cherches le min de a^(1/b) et b^(1/a) suivant que a <= b ou l'inverse.

OK.

1 =< a < b <=> 1 >= 1/a > 1/b > 0

donc a^(1/b) < b^(1/a) car si 0 < x < y 1, alors m^x < m^y.

T'es d'accord ?

J'attends avant de faire la suite...

Julien a écrit:
1 =< a < b <=> 1 >= 1/a > 1/b > 0

donc a^(1/b) < b^(1/a) car si 0 < x < y 1, alors m^x < m^y.

T'es d'accord ?

oui vu que m >= 1

matthias a écrit:oui vu que m >= 1

Oui, j'avais oublié de le dire.

Julien a écrit:

matthias a écrit:oui vu que m >= 1

Oui, j'avais oublié de le dire.

si tu ne veux pas t'embêter avec ça, tu peux peut le faire légèrement différemment:

a^(1/b) <= b^(1/a) <=>
a^a <= b^b (en mettant à la puissance ab, x^ab croissante car ab >= 0)
a <= b (en utilisant x^x croissante pour x>= 1)

Ah oui, ce n'est pas mal, ça...

On peut même rajouter la stricte croissance car a et sont strictement positifs... il en est de même pour leur produit.

Julien a écrit:Ah oui, ce n'est pas mal, ça...

je ne suis pas sûr que ce soit mieux.
c'est à toi de voir ce qui te paraît le plus simple à rédiger de manière rigoureuse.

Julien a écrit:On peut même rajouter la stricte croissance car a et sont strictement positifs... il en est de même pour leur produit.

Je ne pense pas que la stricte croissance te soit très utile.

Pour la suite, c'est très simple.
Tu as soit a<=b et le min=a^(1/b)
soit b<= a et le min=b^(1/a)
tu essaies de majorer le min par a^(1/a) ou b^(1/b) et tu conclues.

Oui, le plus gros du travail a été fait... de toutes façons, c'était juste pour m'amuser.

La conclusion est facile à faire.

Merci beaucoup matthias !

J'ai pas tout lu (j'ai pas bcp de temps) ; il me semble qu'on peut faire la première partie comme ça :
X= b^(1/a)/a^(1/b)
donc,
x^(ab)=(b^b)/(a^a)
Il est clair que X^(ab)>1 ssi X>1 ssi b^(1/a)>a^(1/b).
Or, on "voit bien" (sinon l'étude d'une fonction simple le confirme !) que X^(ab)>1 ssi b>a.
Donc, b^(1/a)>a^(1/b) ssi b>a.