Problème de Décembre 2006

par samir Lun 4 Déc 2006 - 9:35

Bonjour
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

problemedumois@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution envoyée"

Merci

par **Duche** Lun 4 Déc 2006 - 13:34

Solution postée !
(dur dur de formaliser... ^^)
Solution de le_duche pour le problème de décembre 2006

Formalisons la définition de la suite <Un>:
On voit que cette suite s'incrémente lorsque son indice passe de n à n+1 avec n de la forme 1+2+3+...+N.
Ainsi en posant P = {1+2+3+...+N | N € INo} = {N(N+1)/2 | N € INo}, on peut définir la suite <Un> par
Uo = 1
U_{n+1} = Un + 1 si n € P
U_{n+1} = Un sinon

Il est évident que pour tout k dans INo, k est dans [1,+oo[
On peut remarquer que l'ensemble des dintervalles [m(m+1)/2 ; (m+1)(m+2)/2[ forme une partition de [1,+oo[
Ainsi, pour tout entier k dans [1,+oo[ on peut trouver m dans INo tel que m(m+1)/2 < k <= (m+1)(m+2)/2.
On définit alors la suite <Vk> telle que Vk = m.
On a Vk = max_{m € INo}{m | m(m+1)/2 < k}
= max_{m € INo}{m | m²+m-2k < 0}
= max_{m € INo}{m | m € ] (-1-V(8k+1))/2 ; (-1+V(8k+1))/2 [ }
= Le plus grand entier strictement plus petit que (-1+V(8k+1))/2
On définit la fonction z : IR+o -> IN : x -> z(x) = le plus grand entier strictement inférieur à x.

Montrons par récurence que Un = Vn + 1:
Pour n=1, on a Un = 1 et Vn = z((-1+V(8+1))/2) = z(1) = 0
OK
Supposons que cette propriété soit vraie pour 1,2,3,...,n-1:
on voudrais montrer que Un = Vn + 1.
Si n-1 € P
alors Un = U_{n-1} + 1
mais aussi, n-1 peut s'écrire sous la forme m(m+1)/2,
c'est-à-dire que (m-1)m/2 < n-1 <= m(m+1)2 et m(m+1)/2 < n <= (m+1)(m+2)/2
donc V_{n-1} = m-1 et Vn = m, en d'autres termes Vn = V_{n-1}+1
Comme on avait V_{n-1} = U_{n-1} + 1, on a bien Vn = Un + 1.
Si n-1 n'est pas dans P
alors Un = U_{n-1}
mais aussi, n-1 ne peut pas s'écrire sous la forme m(m+1)/2,
il existe donc un m dans INo tel que m(m+1) < n-1 < (m+1)(m+2)/2 et m(m+1)/2 < n <= (m+1)(m+2)/2
donc V_{n-1} = m et Vn = m, en d'autres termes Vn = V_{n-1}
Comme on avait V_{n-1} = U_{n-1} + 1, on a bien Vn = Un + 1.

On peut donc conclure que Un = z((-1+V(8n+1))/2) pour tout n € INo

Ainsi U2006 = z((-1+V(8*2006+1))/2) = z((-1+V(16049))/2) = z(~62.8423) = 62

par **ephemere** Dim 17 Déc 2006 - 9:23

Coucou ! il faudra que je prenne le temps de rédiger ça la semaine prochaine. Very Happy

par samir Lun 1 Jan 2007 - 21:58

La solution officielle du PB de Décembre 2006
Pour tous n et k dans IN tels que n(n+1)<2k=<(n+1)(n+2) on a U(k)=n+1.
Il s'agit alors de résoudre les inéquations : n(n+1)<4012=<(n+1)(n+2)
==>n²<4012<(n+2)²
==>61<n<64
Comme 62*63=3906 et 63*64=4032
==> n=62
==> U(2006)=63

par **Duche** Mar 2 Jan 2007 - 8:45

samir, si tu avais lu ma solution, tu verrais qu'elle est correcte, et que ma seule erreur se trouve à la dernière ligne ou j'ai calculé Un = Vn (apres avoir prouvé que Un = Vn+1)

Bete petite erreur qui m'empeche d'avoir la bonne réponse... à toi de voir si tu juge ca bon ou pas...

par samir Mar 2 Jan 2007 - 14:38

on peut considerer votre réponse comme juste puisque si toi le seul qui a participer au problème de Décembre 2006
bravo

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