Intervalles images

Salut !

Soit f une fonction continue et strictement croissante sur [a;b]. Alors on peut dire que l'intervalle des images est [f(a);f(b)].
Qu'en est-il pour l'intervalle des images d'une fonction f continue et strictement croissante sur ]a;b], par exemple ?

le 1) c'est oui (démontre le avec des epsilons)
le 2) je suppose que c'est [f(a), f(b] à montrer avec des épsilons...

troll a écrit:le 2) je suppose que c'est [f(a), f(b]

Et oui, mais on ne peut pas calculer f(a) puisque f n'est pas définie en a...

L'image continue d'un intervalle est un intervalle.
Il est facile de démontrer que si f est croissante (pas nécessairement strictement), f(a) est le minimum de f([a;b]) et f(b) est le maximum de f([a;b]) donc f([a;b]) = [f(a);f(b)]

Pour ]a;b], f(]a;b]) est toujours un intervalle, mais il n'admet pas nécessairement de minimum (si f(x) tend vers -infini quand x tend vers a)
Ici on va considérer f strictement croissante.
Si f admet une limite L en a, f(]a;b]) = ]L;f(b)]
L peut être fini ou -infini.
Par contre on peut aussi avoir [L;f(b)] si f n'est pas strictement croissante (fonction constante par exemple).

J'ai tout compris sauf une chose :

matthias a écrit:Par contre on peut aussi avoir [L;f(b)] si f n'est pas strictement croissante (fonction constante par exemple).

Si f est constante, alors l'intervalle des images est [L;L], non ?

et comme f(b) = L, c'est la même chose.
maintenant imagine une fonction constante sur ]a;c] (c dans ]a;b[) et strictement croissante sur [c;b] (f toujours continue bien sûr)
tu as bien f(]a;b]) = [L;f(b)] mais avec L différent de f(b).

Ah oui, en effet...

Merci !