Solitions d'une équation différentielle

Bonjour,

Soit (E) y'+ay=b et S l'ensemble de ses solutions.
(Eo) y'+ay=0 et So l'ensemble de ses solutions.

S est une droite affine dont la direction est la droite vectorielle So.

Je ne comprends pas cette dernière phrase...

Pour t'aider je peux dejà te dire que les solutions de l'équation (1) sont la somme de la solution générale de l'équation homogène (2) (soit y(x) = k.exp (-a.x) si je ne m'abuse) et d'une solution particulière de l'équation (1). En réfléchissant un peu la dessus ça t'aidera peut être !
J'espère que ça ne t'embrouille pas trop, en attendant sans doute une réponse plus complète (de Matthias par exemple qui m'a l'air de maitriser les maths ! )

Juste, c'est quoi une équation homogène ? C'est pareil qu'une équation différentielle sans second membre ?

Tout à fait Julien. L'équation homogène qui correspond à une équation différentielle est celle qui n'a pas de second membre. Ici l'équation (2) est l'équation homogène correspondant à l'équation (1)

matthieu a écrit:Pour t'aider je peux dejà te dire que les solutions de l'équation (1) sont la somme de la solution générale de l'équation homogène (2) (soit y(x) = k.exp (-a.x) si je ne m'abuse) et d'une solution particulière de l'équation (1).

Oui c'est exactement ça.
Ensuite pour comprendre la phrase, il faut comprendre que l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forme un espace vectoriel (un espace de fonctions donc).
Sans rentrer dans les détails, ça correspond à peu près à la propriété suivante:
si on prend u et v 2 solutions de (E0), et deux rééls alpha et beta, alors la fonction alpha.u + beta.v est aussi une solution de (E0)
Maintenant comme (E0) est une équation linéaire de degré 1, l'espace vectoriel des solutions est de dimension 1 (donc une droite vectorielle), c'est à dire que toutes les solutions sont égales à un coefficient multiplicatif près (en termes d'espace vectoriel, deux solutions sont des vecteurs colinéaires).
Ensuite par analogie avec la géométrie classique, la donnée d'un point plus une droite vectorielle, forme une droite affine. Ici le point est la solution particulière de (E).

matthias a écrit:Sans rentrer dans les détails, ça correspond à peu près à la propriété suivante:
si on prend u et v 2 solutions de (E0), et deux rééls alpha et beta, alors la fonction alpha.u + beta.v est aussi une solution de (E0)

C'est une combinaison linéaire, comme en arithmétique, si je ne me trompe pas...

Julien a écrit:C'est une combinaison linéaire, comme en arithmétique, si je ne me trompe pas...

Oui une des caractéristiques principales d'un espace vectoriel est d'être stable par combinaisons linéaires.

Merci à tous les trois, ça m'a bien aidé à comprendre.

Je voudrais juste approfondir quelque chose :

matthias a écrit:Maintenant comme (E0) est une équation linéaire de degré 1, l'espace vectoriel des solutions est de dimension 1 (donc une droite vectorielle), c'est à dire que toutes les solutions sont égales à un coefficient multiplicatif près (en termes d'espace vectoriel, deux solutions sont des vecteurs colinéaires).

Qu'est-ce-que ça donnerait si l'équation linéaire était de degré 2 ? On serait en dimension 2 et ça donnerait quoi l'ensemble des solutions ?

Hébus a écrit:Qu'est-ce-que ça donnerait si l'équation linéaire était de degré 2 ? On serait en dimension 2 et ça donnerait quoi l'ensemble des solutions ?

L'ensemble des solutions de l'équation homogène formerait un plan vectoriel. C'est à dire qu'étant donné deux solutions non nulles et non colinéaires, toutes les solutions pourraient être déduites de ces deux là par combinaison linéaire (ces deux solutions formeraient une base de l'espace).
Pour l'équation non homogène, on aurait un plan affine.

D'accord, merci matthias !