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Problème n°5

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Message par Julien le Mar 18 Nov 2008 - 21:01

Démontrer qu'il existe une infinité de naturels a tels que n4+a ne soit jamais premier pour aucune valeur de n.
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Message par Duche le Mer 19 Nov 2008 - 1:03

La condition sur n est n >= 0 ou n > 0 ?

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Message par Julien le Mer 19 Nov 2008 - 6:20

On va dire n>0...
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Message par Duche le Ven 21 Nov 2008 - 17:37

Il est coriace !
Je rechercherai dans quelques jours, là je vois pas.

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Message par C-line le Dim 30 Nov 2008 - 16:49

Je n'ai rien démontré du tout, mais j'ai une conjecture.
On remarque que le chiffre des unités des puissances quatrièmes d'entiers naturels peut prendre seulement ces valeurs: 1 6 5 0.
Ainsi, on pourrait essayer d'ajouter "a", tel que n^4+a ne soit jamais un nombre premier on considérant cette observation.
Donc je me suis dit que je pourrais essayer de prouver que que si a=10x+4 avec x Problème n°5 824813 Problème n°5 N *, n^4+a est toujours un multiple d'un autre nombre...
Et on aurait alors une infinité de naturels a tels que n^4+a ne soit jamais premier pour aucune valeur de n.

Mais je n'ai pas du tout commencé à démontrer ça.
C'était juste une piste... Serait-il possible de me dire si je ne m'égare pas du problème avant que je me lance dans une recherche qui n'aboutira peut être jamais ? Mr.Red
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Message par C-line le Dim 30 Nov 2008 - 16:52

(précision pour la conjecture: si n>0 alors le a=10x+4 avec x appartenant à tous les naturels)
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Message par Julien le Dim 30 Nov 2008 - 23:23

Bon, il se fait tard alors je vais te donner un indice. Il y a du vrai dans ce que t'as écrit mais je n'ai pas le temps de m'y pencher dessus ce soir !

Indice : soit a=4b4...
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Message par Duche le Dim 30 Nov 2008 - 23:26

Cette conjecture est fausse.
Ce que tu as remarqué c'est ceci, mais sans vraiment le voir.

Si on regarde les valeurs de n^4 modulo 2,3, et 5 on a

0^4 = 0 (mod 2)
1^4 = 1 (mod 2)
0^4 = 0 (mod 3)
1^4 = 1 (mod 3)
2^4 = 16 = 1 (mod 3)
0^4 = 0 (mod 5)
1^4 = 1 (mod 5)
2^4 = 16 = 1 (mod 5)
3^4 = 81 = 1 (mod 5)
4^4 = 256 = 1 (mod 5)

Cela signifie que si l'on choisi un a = -1 (mod 5) par exemple, n^4+a sera toujours divisible par 5 sauf si n est divisible par 5.
Ca raduit donc le nombre de n "dangereux" (ceux qui créent des premiers).
On peut également combiner, par exemple prendre un a = -1 (mod 2*3*5), ce qui signifie que n^4+a sera toujorus divisible soit par 2 soit par 3 soit par 5, sauf lorsque n est un multiple de 30.

Mais cela ne m'a pas encore mené à quelque chose, il me semble que cette idée tourne en rond. En effet, si on se contente de regarder uniquement les a de la forme a=5b-1 on ne fait que reporter le problème, car il deviendra

Montrer qu'il existe une infinité de b, tels que pour tout m
625 m^4 + 5b - 1 est non premier. Ce qui ne simplfie pas les choses à mon sens ^^

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Message par Duche le Dim 30 Nov 2008 - 23:34

Ha ben combiné à ma technique ça marche impec !
Je rédige ça Smile

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Message par Duche le Dim 30 Nov 2008 - 23:41

oups non je me suis emballé

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