DM (Concours d'entrée à l'école des ingénieurs de la ville de Paris - 1994)

Bonjour,

Je suis en train de plancher sur un sujet de concours en maths et très franchement je n'arrive pas à décoller de la première question... ce qui est assez embêtant je dois dire !!!

Voilà mon problème :
Soit n un entier naturel non nul.
On note Un l'ensemble des n racines n-ièmes de l'unité.
On écrit : (des & U3) &/(x-&) = (des &^3=1) &/(x-&) = 1/(x-1) + j/(x-j) + j²/(x-j²) avec j = exp(2i /3)

et il faut que je trouve le monôme A(x) tq :
(des &^3=1) &/(x-&) = A(x)/(x^3-1)

J'ai essayé de développer la somme qu'ils nous donnent dans l'énoncé mais j'arrive à une expression très compliquée.... est-ce la bonne méthode ???
Sinon je ne sais pas quelle direction prendre...

Merci par avance pour votre aide.
A bientôt.

Salut,

x³-1=(x-1)(x-j)(x-j²) donc pour le premier terme de ta somme, tu as :
1/(x-1)=(x-j)(x-j²)/(x³-1).

Tu fais pareil pour les deux autres termes et tu additionnes les numérateurs pour trouver A(x).

Tu es d'accord ?

J'étais partie dans cette voie, mais je n'arrive pas à trouver l'égalité :
x^3-1 = (x-1)(x-j)(x-j²)

Qd je développe, j'obtiens :
x^3-x²-jx²-j²x²+jx+2j²x-j^3

j'ai remarqué que j^3 = 1, que 1-j-j² = 2, mais je n'arrive pas à trouver j+2j² et à simplifier....

Hipollène a écrit:J'étais partie dans cette voie, mais je n'arrive pas à trouver l'égalité :
x^3-1 = (x-1)(x-j)(x-j²)

Ben en fait, les racines troisième de l'unité sont 1, e^{i2 /3} et e^{i4 /3} et on note j=e^{i2 /3} donc ça te donne tout de suite l'égalité.