3ème et dernier exercice ( en deux parties )

Problème:
Partie A,

Soit Ro ( il me semble, en minuscule) ro= ( 3x² + ax + b ) / ( x² + 1 )

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de ro soit tangente au point I ( 0;3 )à la droite (T) d'équation y= 4x + 3

J'ai testé avec Tangente=f'(a)(x-a)+f(a), f(0)=3, on est censé trouvé avec l'équation de la tangente une équation de la forme ax + b, b=3 et donc par identification a=4 ? C'est pas un peu simple ? ^^

Pour l'équation de la tangente, il faut dériver Ro, on est d'accord ?

( Qui a inventé la dérivation, je vous le demande ^^)

ro' = u'v-uv' / v² ?

ro' = ( 3x + a )(x²+1) - ( 3x²+ax+b )(x) / (x²+1)²

ro' = ( 3x^3 + 3x + ax² + a -3x^3 + bx ) / ( x²+1)²

Bon on simplifie un peu

ro' = 3x + bx + a / ( x+1 )² ?

La dérivée de 3x², ce n'est pas 3x. De même, la dérivée de x² n'est pas x.

Rooo mais oui c**,


ro' = ( 6x + a )(x²+1) - ( 3x²+ax+b )(2x) / (x²+1)²

ro' = ( 6x^3 + 6x + ax² + a - 6x^3 - 2ax² - 2bx ) / ( x²+1 )²

ro' = ( 6x - ax² - 2bx ) / ( x²+1 )²

?

Ok, sauf que t'as oublié un +a il me semble...

Maintenant, faut calculer f'(0) et f(0)...

( Dur de se concentrer devant un écran :/ ) J'ai vu le a !

f'(0) = J'ai un doute là, ce sont les a qu'on remplace par 0 ? Ca serait égal à : f ' (0) = (6x -2bx) / ( x²+1 )

f(0) = ( 3x² + b ) / ( x²+1 )

Non, c'est les x qu'il faut remplacer !

f ' (0) = a

f (0) = b ? euu lol ?

Noova a écrit:f ' (0) = a

f (0) = b ? euu lol ?

Oui, mais tu connais une autre valeur pour f(0)... Quelle est elle ?

3 ?

Oui.

Donc b=3.

Et avec l'équation de la tangente, tu peux trouver a.

Et bien merci de ton aide, je finis ça pour demain( à priori par identification a=4 ? Parce que l'équation de la tangente t= ax + b(=3) ) , il me semble que Morphée m'appelle =)

Bonne soirée Julien,

4x+3=f'(0)(x)+f(0)=ax+3 donc a=4 en effet.

Partie B:

f(x) = ( 3x²+4x+3 ) / ( x²+1 )

1) Montrer que pour tout x réel, on a f(x) = Alpha + ( Beta x ) / ( x²+1 ), Alpha et Béta deux réels que l'on déterminera.( on met Alpha sur le même dénominateur ? on doit pas tomber sur un petit système d'équation ? )

2) Etudier la fonction f ( que veulent ils dire la ? Si elle est croissante ou non ? )

3) Etudier la positon de la courbe (C) représentative de a fonction f par rapport à la tangente (T) au point I de coordonnées (0;3) ( Un point I(xi;yi) centre de symétrie d'une courbe si pour tout x , f(xi+x)+f(xi-x) / 2 = f(xi)

4) Construire la courbe C, on prendra pour unité 2cm

5) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que :

g(x) = ( 3x² + 4|x| + 3 )/ ( x²+1 )Soit (C') la courbe représentative de g
Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C') non contenue dans (C). ( Justifier )

1) Oui, mets tout au même dénominateur et identifie les coefficients des termers de même degré.

2) Oui, il faut étudier le sens de variations.

1) Bon ça devrait être tout bête,

f(x) = (Alpha*x² + Alpha + Béta*x )/ (x²+1)

Termes de même degré, Alpha*x² et x² ? Mais on en fait quoi ?

Tu identifies avec ( 3x²+4x+3 ) / ( x²+1 ).

( 3x²+4x+3 ) / ( x²+1 )=(Alpha*x² + Alpha + Béta*x )/ (x²+1) => Alpha = ? Bêta = ?

Alpha = 3 et Bêta =4

2) Donc maintenant il faut très certainement dériver la fonction pour pouvoir étudier les variations de la fonction:

f(x) = ( 3x²+4x+3 ) / ( x²+1 ).

f '(x) =[ ( 6x+4)(x²+1) - ( 3x²+4x+3)(2x) ]/ ( x²+1 )²

f '(x) = (6x^3+6x+4x²+4)-(6x^3+8x²+6x) / ( x²+1 )²

f '(x) = (6x^3+6x+4x²+4-6x^3-8x²-6x) / ( x²+1)²

f '(x) = ( -4x²+4 ) / ( x²+1)²

Eu après ? On étudie le signe de la dérivé ? Elle est censée s'annule pour x=1 ? et on calcule f(1) ? Ou on calcule le discriminant ? Avec -4x²+4on peut faire pas le discriminant ?

OK pour Alpha et Bêta.

Mais d'après toi, la première question, tu ne crois pas qu'on doit s'en servir ?
Et si !! Pour la deuxième question, dérive plutôt la fonction trouvée au 1) vu qu'elle est égale à f ! Ca ve te simplifier grandement les calculs !

Il faut dériver 3+ 4x/(x²+1)² ?

Oui.

On trouve quand même f '(x) = ( -4x²+4 ) / ( x²+1)² ^^

f '(x) = 4(x²+1)-(4x)(2x) / (x²+1)²

f '(x) = 4x²+4-8x² / (x²+1)²

f '(x) = -4x²+4 / (x²+1)²

Oui, heureusement, mais tu vois bien que c'est plus simple. Et puis, ça montre que tu sais ce que tu fais, que t'as du recul...

Aa oui je vois, une fois la dérivé calculée que faire ?

Etudier son signe sur les intervalles à définir.

On les défini en calculant les racines c'est ça ? Avec le discriminant etc etc ?

Oui.

Delta= b² - 4ac
b=0 ?

Delta= 64 = 8²

x1=1 et x2=-1 ?

f(1) = 5 et f(-1)= -2, donc je fais mon petit tableau

- -1 1 +

f '(x) - | + | -


f(x) Décroiss(-2) |croiss (5) |décroiss


C'est bon ?

J'ai vérifié les racines. Pour le reste, j'ai un peu la flemme. :p

Mais ta calculatrice est là pour vérifier !

Ca correspond parfaitement =D c'est magique les maths quand ça fonctionne ^^

3) On me demande d'étudier la position de la courbe (C) par rapport a la tangente au point I(3;0),

Je calcule T=f '(3)(x-3)+f(3)

f '(3) = -0,32 ( c'est normal ?)
f(3) = 2,11

T=-0.32(x-3) + 2,11
T= -0,32x + 3;07 ? woo --" Sur l'écran de la calculatrice ça me semble plausible, quoi que

Il te faut étudier le signe de f(x)-T(x).

f(x) - T(x) = (3x²+4x+3)/(x²+1) + 0,32x- 3,07 ??????Je dois vraiment résoudre ça ?

Non, il te faut travailler avec les valeurs exactes.

Et on reprend tout ! ^^ Mais ya un beug c'est pas possible ^^

f '(3) = (-4*3²+4) / (3²+1)² = -32/100
f(3) = (3*3²+4*3+3) / (3²+1)= 42/10

???

Roo mais conn c'est f(0) et f '(0) qu'il faut calculer ?!


f(0) = 3
f '(0) = 4

T= 4x+3

f(x)-T(x) = (-4x^3 / (x²+1) Dites moi que j'ai bon ...

Quand je dis avec les valeurs exactes, je veux dire qu'il ne faut pas calculer f'(3) ou f(3).

Calcules f(x)-T(x) (donc en fonction de x).

J ai envi de pleurer ...

f(x)-T(x) = f(x)-(f '(a)(x-a)+f(a))
= f(x)-f '(a)(x-a)-f(a)

Pour le coup je suis vraiment perdu de chez perdu

Mais l'équation de la tangente, c'est donné dans l'énoncé ! y=4x+3.

Donc f(x)-T(x)=f(x)-(4x+3)=...

f(x) - 4x+3 mais je l'ai calculé ça

(3x²+4x+3) / (x²+1) - 4x+3 = -4x^3 / x²+1 Je peux pas mieux faire la.

OK. Ensuite, tu le calcules en le point concerné. Et tu étudies le signe du résultat.

Noova a écrit:Et on reprend tout ! ^^ Mais ya un beug c'est pas possible ^^

f '(3) = (-4*3²+4) / (3²+1)² = -32/100
f(3) = (3*3²+4*3+3) / (3²+1)= 42/10

???

Roo mais conn c'est f(0) et f '(0) qu'il faut calculer ?!


f(0) = 3
f '(0) = 4

T= 4x+3

f(x)-T(x) = (-4x^3 / (x²+1) Dites moi que j'ai bon ...

^^

Il faut calculer pour x=3 ? comme I(0;3) ? Sinon ça fait 0 :/

Ah oui désolé. Moi aussi je m'y perds entre tout ce que je fais là...

Bien sûr, si tu le calcules au point d'intersection, c'est normal que tu trouves 0 vu que les courbes sont tangentes en ce point. Elles se "touchent" donc leur différence est nulle !

Non, ce qu'il faut faire, c'est trouver le signe de (-4x^3 / (x²+1) et conclure. Tu dois l'avoir dans ton cours.

Oui ça me revient,

Si x < 0 , x²+1 > 0
Donc 1/ x²+1 > 0
Et -4x^3/ x²+1 < 0

D'ou f(x)- T(x) < 0
f(x)