DM sur le nombre dérivé

Bonjour à tous ! Je viens sur ce forum car j'ai besoin de l'avis d'autres personnes sur un de mes devoirs maison. En effet, pendant ces vacances, notre professeur de mathématiques nous a donné un devoir maison à faire pour le lundi de la rentrée. J'ai fait tout le devoir maison, mis à part deux questions sur lesquelles je bloque. J'ai déja passé 3h à chercher une réponse, car ça m'obsède un peu =X (c'est quasiment la première fois de ma vie que je bloque comme ça). Je soupçonne une erreur dans le devoir, mais je préfère ne pas trop m'avancer, peut-être que j'ai raté quelque chose =S. Je vais vous indiquer les questions, et les réponses que j'ai trouvées pour l'exercice en question. Merci de votre aide par avance, et bon courage =P :

Exercice 3 :

On considère la fonction f définie sur par f(x) = x^3 - x^2 + x -1 .
Le but de cet exercice est de montrer que f est une fonction dérivable sur puis, à partir de la définition initiale, de calculer le nombre dérivé f '(a) pour tout réel a.

1) Donner une expression de f(a) puis de f(x)-f(a).

f(a) = a^3 - a^2 + a - 1
f(x)-f(a) = x^3 - x^2 + x - 1 - a^3 + a^2 -a + 1
= x^3 - a^3 + a^2 - x^2 + x - a

2)Effectuer la division de x^3 - a^3 par x-a. En déduire une factorisation de x^3 - a^3.

Pour cette fois, je vous donne simplement le résultat car à écrire c'est ennuyant =P : x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + ax + a^2)

3) Factoriser x^2 - a^2.
x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)

4)En déduire une factorisation de f(x) - f(a).
Exercice présumé résolu ! :

f(x)-f(a) = (x^3 - a^3) + (a^2 - x^2) + (x - a)
f(x)-f(a) = (x-a)(x^2 + ax + a^2) + (a+x)(a-x) + (x-a)
f(x)-f(a) = (x-a)(x^2 + ax + a^2) - (a+x)(x-a) + (x-a)
f(x)-f(a) = (x-a)(x^2 + ax + a^2 - a - x + 1)


5)En déduire le calcul de f '(a).

lim (f(x) - f(a))/(x-a) = f '(a)
x ---> a

(x-a)(x^2 + ax + a^2 - a - x + 1)/(x-a) = x^2 + ax + a^2 - a - x + 1

lim x^2 + ax + a^2 - a - x + 1 = f '(a)
x --> a

Tout y est ^^. Si vous pensez qu'il y a moyen de trouver un résultat plus simple, surtout n'hésitez pas !!

Je crois avoir trouvé la solution à mon problème, normalement c'est bon. J'ai édité mon premier message, et j'ai complété les réponses pour chaque question. C'est exactement de cette manière que sera rendu mon devoir. Je vais continuer à chercher un moyen de trouver un résultat plus simple, mais si vous en voyez un, s'il vous plaît dîtes le moi, car peut-être que je vais chercher quelque chose de plus simple pour rien, ou alors que je ne vais pas trouver ^^.

Merci d'avance.

lim x^2 + ax + a^2 - a - x + 1 = f '(a)
x --> a

Je dirais qu'on en déduit que f '(a)= 3 * a^2 - 2 * a + 1

Non ?

(Ce qui est logique, d'ailleurs, car si mes souvenirs sont bon,
f '(x) = 3 * x^2 - 2 * x +1 )

Désolé, je ne comprends pas ton raisonnement....tu peux détailler un peu plus s'il te plaît ?

A quel moment tu ne comprends pas ?
Quand je remplace x par a ?

A la limite x est presque égal à a, donc on peut le remplacer dans l'équation pour obtenir la valeur de f '(a) ...

Pourquoi pas, c'est vrai ^^. Je note ça quelque part, merci de ton aide ! Enfin, c'est quand même une affaire de détails hein , mais c'est toujours important.

Merci et A+ !