Fonction rationnelle , comportement asymptotique

Je suis en Première ES , et je m'entraîne sur un exercice (juste par envie) mais je n'y arrive pas, et donc comme je déteste quand je n' arrive pas à faire quelque chose , je pensais donc que quelqu'un qui aurait du temps à consacrer , pourrait peut être me résoudre cet exercice , je vous remercie sincèrement d'avance !
Soit F : x→x+2+4/x-1 et Cf sa courbe représentative dans un repère (O;I;J)
1) Quel est l'ensemble de définition Df de F
2a) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 1 en restant supérieur à 1 , puis la limite de f(x) quand x tend vers 1 en restant inférieur à 1.
2b) Interpréter graphiquement ces limites
3) Démontrer que la droite D d'équation y= x+2 est asymptote oblique à Cf "en plus l'infinie " et en "moins l'infinie"
4a) étudier le signe de la dérivée f '.
4b) Dresser le tableau de variations de f
5a) étudier le signe de 4 / x-1 selon les valeurs de x
5b) Interpréter graphiquement les résultats de la question 5a .
6) Construire Cf en faisant apparaître les asymptotes et les tangentes horizontales.

Tout d'abord, bonjour et bienvenue sur le forum flo141414.

flo141414 a écrit:Je suis en Première ES , et je m'entraîne sur un exercice (juste par envie) mais je n'y arrive pas, et donc comme je déteste quand je n' arrive pas à faire quelque chose , je pensais donc que quelqu'un qui aurait du temps à consacrer , pourrait peut être me résoudre cet exercice , je vous remercie sincèrement d'avance !

Puisque c'est "juste par envie", on a tout notre temps pour le résoudre, pas vrai ? Alors, on va procéder de la bonne manière si tu veux bien.
Puisque c'est "juste par envie", tu as forcément essayé des choses, tu as quelques pistes pour commencer, ... alors j'attends avant de t'aider que tu nous dises ce que tu as trouvé pour le maximum de questions. Surtout qu'il y en a que tu peux facilement trouver juste avec le cours (comme l'ensemble de définition de la fonction par exemple)...

1) DF =R- {1}

2 a )soit f : x → x+2 +4 / x-1

lim (x-1)=0 et pour x inferieur à 1 on a x-1 inferieur à0
x→1

donc lim 4/x-1= moins l'infinie
x→1
x inferieur à 1

ensuite lim(X+2)=1+2=3
x→1

d'où lim f(x)=plus l'infinie
x→1
x inferieur à 1


Puis lim ( x-1)=0 et pour x superieur à 1 on a x-1 superieur à 0

donc lim 4/ x-1= plus l'infinie
x→1
x superieur à 1
lim(x+2)= 1+2=3
x→1
d'où lim f(X)= plus l'infinie
x→1
X superieur à 1
x superieur à 1

3) La droite d'équation y = x+2 est une asymptote oblique à la courbe Cf en Plus l'infinie car
lim [x+2+4/ x-1 -(x+2)]=0
x→plus l'infinie

de même que la droite d'équation y= x+2 est une asymptote oblique à la courbe Cf en moins l'infinie car
lim [x+2+4/x-1 -(X+2)]=0

j'ai fait ça en regardant dans mon livre , en essayant de comprendre en fonction des exercices proposés, et ça m'a aidé , mais je suis pas sur que tout cela soit bon ...

Alors je suis d'accord pour les questions 1 et 3.


Pour la 2)a), je pense que tu as fait une petite étourderie :

flo141414 a écrit:2 a )soit f : x → x+2 +4 / x-1

lim (x-1)=0 et pour x inferieur à 1 on a x-1 inferieur à0
x→1

donc lim 4/x-1= moins l'infinie
x→1
x inferieur à 1

ensuite lim(X+2)=1+2=3
x→1

d'où lim f(x)=plus l'infinie
x→1
x inferieur à 1

Je ne suis pas d'accord avec la dernière ligne. Tu vois où est le problème ? Sinon le reste est correct.

d'où lim f(x)=plus l'infinie <== ça c'est l'erreur
x→1
x inferieur à 1


car comme X est inférieur à 1 f(x)= moins l'infinie

et pour le 3) est ce que c'est nécessaire que je rajoute un mini graphique

et que je dise que :

lim [f(x)-(ax b)]=0
x→ plus l'infinie

ça revient à dire que sur le graphique , la distance MN (par ex) tend vers 0 quand x tend vers plus l'infinie, autrement dit que la courbe Cf se rapproche de la droite d'équoition y =ax b aussi pres quel'on veut , pourvut que x soit suffisamment grand ..

Tu as bien corrigé ton étourderie.

Pour la 3), tu peux ajouter le graphique pour donner une interprétation des résultats en étant bien conscient que ça ne démontre rien !

https://i.servimg.com/u/f68/15/28/64/14/dsc01312.jpg

ça c'est le graphique , de mon livre qui explique pour une asymptote oblique

Pour le 2a) est ce qu'il est nécessaire que je réduise au même dénominateur

f(x)=x+2+4/x-1 = x(x-1)/(x-1) + 2(x-1)/(x-1) + 4/(x-1)
= X²- 1x+2x-1+4 / x-1
=X²+x+3/x-1

ensuite pour le 4a)

Dérivée= [(X²-2*X-3 ) / (x-2)²]

enfin je comprends pas vraiment pour le 4 a) , est ce qu'il faut que j'utilise delta
ou que je dise simplement que quand
lim [f(x)-(ax+b)] = 0
x→ plus l'infinie

et lim [f(x)-(ax+b)] = 0
x→ moins l'infinie

enfin , j'avous franchement que je ne vois pas comment faire pour le
4a) étudier le signe de la dérivée f '.
4b) Dresser le tableau de variations de f
5a) étudier le signe de 4 / x-1 selon les valeurs de x
5b) Interpréter graphiquement les résultats de la question 5a .
6) Construire Cf en faisant apparaître les asymptotes et les tangentes horizontales
sincerement je te remercie pour ton aide , car je deteste quand je bloque sur quelque chose ... ^^

Pour le 2)a), non, c'est très bien comme tu avais fait.

Pour la 4)a), dérive la fonction sans mettre au même dénominateur, ça sera plus simple ! Après en revanche, une fois que tu as calculé la dérivée, tu peux tout mettre sur le même dénominateur.

pour le 2 b) je peut dire :
on peut conclure que la droite x=1 est asymptote vertical (interpretation graphique )

lim x→ moins l'infini = moins l'infini
lim x→ plus l'infini = plus l'infini


lim (x-1)=0 et pour x superieur à 1 on a x-1 superieur à 0
donc lim x→1 4/(x-1)= plus l'infini
x superieur à 1


et lim (x+2)= 1+2 =3

D'où lim f(x) = plus l'infini
x→1
x superieur à1
x →1

flo141414 a écrit:pour le 2 b) je peut dire :
on peut conclure que la droite x=1 est asymptote vertical (interpretation graphique )

Je suis d'accord.

merci pour le 2 b)
par contre pour le 4 a) je bloque toujours :/

Dérive F : x→(x+2)+4/(x-1) sans mettre au même dénominateur.

F : x→(x+2)+4/(x-1)
u(X)=(x-1) dont la dérivée est 1

valeur interdite : x-1 =0
x=1

défini sur ]- infini;1[u]1;+ infini[

f(X)= u(X) /v(X) avec u(x)=4 → u'(x)=4
v(x)=x-1 → v'(x)=1


donc f'(x)= 4(x-1) - 4+1 / (x-1)²
=(x+2)+4(x-1) -4+1 /(x-1)²
= x²-x+2x+2+1/(x-1)²
=x²-x+3/ (X-1)²

Tu as fait des erreurs. La dérivée d'une constante vaut 0 par exemple.

Mais utilises plutôt la dérivée de 1/U(x).

ou plutôt : etudier le signe de la derivée f'
f'(x)=1-4/(x-1)²=[(x-1)²-4]/(x-1)²=(x²-2x-3)/(x-1)²=(x+1)(x-3)/(x-1)²
le signe est positif si x ]- infini;-1]U[3;+infini[
négatif sinon

Absolument !

pour 5a)
4 / (x-1)
cette fonction n'est pas définie pour x=1

mais sur ]-l'infini;1[ et sur ]1;+l'infini [

si x<1 alors x-1<0 et 1/(x-1)<0 et 4/(x-1)<0

Je suis encore d'accord.

Tu as tous les éléments pour conclure à présent.

Comment puis je interpréter graphiquement les résultats ,
pour 5a)
4 / (x-1)
cette fonction n'est pas définie pour x=1

mais sur ]-l'infini;1[ et sur ]1;+l'infini [

si x<1 alors x-1<0 et 1/(x-1)<0 et 4/(x-1)<0



je vois pas non plus , pour dresser le tableau de variation de f dans le 4b) , j'utilise
F : x→(x+2)+4/(x-1) ou (x+1)(x-3)/(x-1)²


puis comment
Construire Cf en faisant apparaître les asymptotes et les tangentes horizontales ?

c'est les trois dernière chose qui me bloque ...

mais sinon je te merci pour tout