Dm TS à rendre pour la rentrée

par pøx Dim 29 Aoû 2010 - 17:23

Bonjour à tous, j'ai eu "l'heureuse nouvelle" de voir que j'avais un dm de math il y a quelque jours à rendre pour la rentrée "histoire de ne pas perdre la main" (soi-disant hein :p) et donc sous forme de 4 "petits" exercices sur le chapitre des dérivé.
Donc l'exo 1 est fait,
le 2 presque mais je chercherais pas car ça vient des cours et je les ai pas en intégralité.
le 3 je l'ai presque finit hier, mai j'ai juste eu un oubli d'une méthode et une question que je ne trouverais pas ^^
C'est surtout le 4 qui me fait défaut, en effet, je n'arrive même pas la 1ère question, c'est dire... C'est pourquoi je me permet de vous demander un peu d'aide dans ce monde de brute Smile

.
Donc voici le topo :

"On veut installer une rampe permettant de raccorder un point haut H avec un point bas B. Le profil de la rampe doit correspondre à un arc de la courbe (C) d'un polynôme de degré 3, tel qu'aux point H et B les tangentes à la courbe soit horizontales.

On choisit un repère dans lequel les points H et B ont pour coordonnées respectives (0;1) et (1;0). Dans ce repère la courbe (C) à pour équation :
y = f(x) avec f : x -> ax^3 + bx^2 + cx + d (les puissances sont pour les inconnues "x")"

1) Ecrire un système d'équations traduisant les contraintes de l'énoncé.
2) En déduire les coefficients de a,b,c,d
3) Soit (T) la tangente à la courbe de f au point I d'abscisse 0,5. Déterminer l'équation réduite de (T) sous la forme : y = mx + p.
4) On pose d(x) = f(x) - (mx + p), pour tout x appartient [0;1].
Vérifier que d(x) = 1/4 * [(2x - 1 )^3], pour tout x appartient [0;1].
En déduire les positions relatives de la courbe (C) et de sa tangente (T). Illustrer sur le dessin en traçant la tangente (T).

Après le prof nous dit qu'il nous enverra un logiciel de calcul formel pour résoudre l'exercice, mais je n'ai toujours rien reçu...

par **Julien** Dim 29 Aoû 2010 - 19:02

Bonjour pøx,

Pour la 1° question, il te faut traduire :

aux point H et B les tangentes à la courbe soit horizontales.

Quelle est l'équation d'une tangente à une courbe en un point donné ?

par **Julien** Dim 29 Aoû 2010 - 19:14

J'ai oublié, il faut aussi traduire le fait que :

H et B ont pour coordonnées respectives (0;1) et (1;0)

par pøx Dim 29 Aoû 2010 - 21:33

Pour l'équation des tangentes, c'est de type y = 1 (pour H) et y = 0 (pour b), c'est ça ?
Maintenant traduire les coordonnées des points en équation, je ne vois pas où en venir... pourrais-tu m'éclairer un peu plus ? (si déjà avant je n'ai pas de mauvais raisonnement).

par **Julien** Lun 30 Aoû 2010 - 8:51

H a pour coordonnées (0;1). Ça veut donc dire que f(0)=1, tu es d'accord ?

Maintenant, en te servant de f(x), calcule f(0) et tu vas avoir une première équation. Tu en auras une autre avec le point B.

Sinon, OK pour y = 1 et y = 0 mais il te faut là aussi l'exprimer en fonction de x. L'équation d'une tangente à une courbe en un point s'exprime en fonction de x. Je te laisse l'écrire.

par pøx Lun 30 Aoû 2010 - 11:51

Donc avec la fonction y = f(x) avec f : x-> ax^3 + bx^2 + cx + d
celà veut dire avec f(0)=1, on peut trouver que f(0) = d
donc d = 1, je me trompe ?
Avec B on a pour (1;0) donc f(1) = 0, donc a + b +c +d = 0 non ?

par **Julien** Lun 30 Aoû 2010 - 12:02

Absolument !

d=1 donc tu as même a+b+c+1=0.

par pøx Lun 30 Aoû 2010 - 13:32

Mais dans ce cas-là, la deuxième question se reporte à la 1, mais qu'entend-il (le prof) par "coefficients" ? A savoir un coeff, c'est un simple multiplicateur non ?

par **Julien** Lun 30 Aoû 2010 - 13:48

Dans la 1° question, tu dois juste exprimer les 4 équations.
Tu en as déjà deux :
d = 1
a + b + c + d = 1

Dans la question 2, tu devras déterminer ces coefficients (tu connais déjà d mais pour les autres coeffs a, b et c, il faudra résoudre le système).

par pøx Lun 30 Aoû 2010 - 20:50

Les 2 autres équations pour le système ? je ne vois pas desquelles tu sous-entend, je suis assez à la ramasse je le reconnais...

par **Julien** Lun 30 Aoû 2010 - 21:05

Ceci devrait te rafraîchir la mémoire : http://homeomath.imingo.net/deritan.htm.

Tu n'as plus qu'à appliquer maintenant.

par pøx Lun 30 Aoû 2010 - 21:39

Donc pour y=1, on à 1 = f '(a) * (x-a) + f(a) au point H ?

par **Julien** Lun 30 Aoû 2010 - 22:02

Oui, mais tu connais a et f(a) donc il faut que tu explicites ! Il te faut auxxi calculer la dérivée de f.

par pøx Lun 30 Aoû 2010 - 22:27

la dérivé de f c'est bien a*3x^2 + b*2x + c je me trompe ?
f(a)= a^4 + ba^2 + ca + 1
donc f'(a)= 4a^3 + b + 2ab + c
ainsi au point H, on a :
1 = (4a^3 + b + 2ab + c) * (0 - a) + a^4 + ba^2 + ca +1
et donc (4a^3 + b + 2ab + c) * (0 - a) + a^4 + ba^2 + ca = 0
sa me parait assez farfelu comme expression, donc je dois me tromper lourdement... hum, je réfléchirais la tête libre demain, merci de l'aide encore julien Wink

par **Julien** Lun 30 Aoû 2010 - 22:31

OK pour la dérivée.

Pour l'équation de la tangente, f '(a) * (x-a) + f(a) c'est pour la tangente au point A de coordonnées (a;f(a)).

Donc pour le point H de coordonnées (0;1), ça te simplifie grandement les calculs !

par pøx Lun 30 Aoû 2010 - 22:42

ah oui, ainsi y = f '(a) * (x - a) + f(a) <=> y = (3*a^3 + 2ab + c) * (x - 0) + 1
<=> y = 3x*a^3 + 2abx + cx +1 au point H

par **Julien** Mar 31 Aoû 2010 - 6:46

Alors, tu as bien remplacé f(a) par 1 et (x-a) par (x-0) mais du coup, f'(a), il te faut le caluler en 0 !

Donc le calcul à faire est le suivant : y = f '(0) * (x - 0) + f(0).

par pøx Mar 31 Aoû 2010 - 10:03

donc y = f '(0) * (x - 0) + f(0) <=> y = 0 * (x - 0) + 1 <=> y = 1 (mais je vois pas le "x" donc c'est ça qui me pose problème) (étant donné que f(0) = d = 1, donc f '(0) = 0)

par **Julien** Mar 31 Aoû 2010 - 10:26

f'(0) = c et non pas 0.

par pøx Mar 31 Aoû 2010 - 10:42

Pourtant on a dit plus haut que f(0) = 1, donc je ne comprend pas pourquoi f '(0) = c Neutral

par **Julien** Mar 31 Aoû 2010 - 11:02

Euh... je crois comprendre là où tu te trompes :
Pour trouver f'(0), il ne faut surtout pas calculer la dérivée de f(0) !!! f(0) sera toujours un nombre constant et la dérivée d'un nombre valant 0, ça voudrait dire que quel que soit le point de coordonnées A(a,f(a)), f'(a)=0 ce qui est absolument faux !

Tu as trouvé f'(x) plus haut. Il faut donc calculer f'(0) en passant par f'(x) en 0.

par pøx Mar 31 Aoû 2010 - 13:56

mouais, donc on a
{
d = 1
a+b+c+1=0
y = cx +1 au point H
y = f'(1) * (x - 1) + f(a) <=> y = 3a +2b + c au point B
}
Le système est bon ?

par **Julien** Mar 31 Aoû 2010 - 14:21

Déjà, dans y = f'(1) * (x - 1) + f(a) <=> y = 3a +2b + c au point B, f(a) vaut 0 car B a pour coordonnées (1;0)...

par pøx Mar 31 Aoû 2010 - 15:37

oui, donc f'(1) * (x-1) + f(a) = 3a+2b+c * (x-1) + c = 3ax + 2bx + cx - 3a - 2b
edit=> Donc on aurait :
{
d = 1
a+b+c+1=0
y = cx +1 au point H de coordonnées (0;1)
y = 3ax + 2bx + cx - 3a - 2b au point B de coordonnées (1;0)
}
rededit=> à mais non, 3a+2b+c * (x -1 ) +0 = 3ax + 2bx + cx - 3a - 2b -c.
C'est ça ? hum...

par **Julien** Mer 1 Sep 2010 - 18:16

pøx a écrit:
rededit=> à mais non, 3a+2b+c * (x -1 ) +0 = 3ax + 2bx + cx - 3a - 2b -c.
C'est ça ? hum...

Oui ça doit être ça.

Maintenant, il faut utiliser le fait que les tangentes en H et B sont horizontales.

par pøx Mer 1 Sep 2010 - 18:34

j'ai écrit que :
pour h : cx +1 = 1
pour b : 3ax + 2bx + cx - 3a - 2b - c = 0
Mais en ayant ces 2 équations plus les 2 autres le système me parait irréalisable, il doit l'être mais disons que la "méthode " de résolution par addition m'a toujours réfutée, alors j'utilise toujours, même si ce n'est pas efficace, la méthode par substitution, et sa m'a l'air assez dur...

par irina Jeu 2 Sep 2010 - 6:45

Salut, regarde l'équation h : cx+1=1, il n'y aurais pas quelque-chose à simplifier ?

Qu'est-ce qui te rebute dans la méthode par addition ?

Ce serait bien que tu remette le système, surtout que maintenant le sujet est sur 2 pages.

par pøx Jeu 2 Sep 2010 - 6:56

on a :
{
d=1
a + b + c + 1 = 0
cx +1 = 1 (donc soit x= 0 ou c=0)
3ax + 2bx + cx- 3a- 2b - c = 0
}
Ba dans la méthode par "addition classique" il y a par exemple 3 inconnues (x,y,z) dans 3 équations, mais ils apparaissent dans les 3, donc pas dur à faire les calculs pour réduire ensuite, ici les seuls équations limites qui vont ensemble ça serait la 2ème et la 4ème, ba je tente je vais voir...

edit=>3ax + 2bx + cx - 2a - b + 1 = 0
prenons : 1 = 1 - cx : 3ax+2bx-2a-b+1=0

Voilà en faites ce que j'obtiens sans trop de convictions. Après je ne vois pas par où finir/commencer.

par irina Jeu 2 Sep 2010 - 7:20

Donc en faite tu as
cx+1=1 ca donne cx=0 et comme il y aura forcément des moment ou x ne sera pas nul, c'est c qui est égale à 0. Donc tu peut simplifier toutes les équations où il y a c.
Après la supstitution serait peut-être mieux.

par haha Jeu 2 Sep 2010 - 7:35

Tu ne serais pas de malraux en TS par hasard?

par pøx Jeu 2 Sep 2010 - 8:37

Vraiment du pur hasard hein :p
Sinon je refait, merci irina. (edit après l'erreur^^)
{
d=1
a+b+1=0
cx = 0
3ax + 2bx - 3a - 2b = 0
}

Donc on peut facilement voir que a = -b -1 ou que b = -a -1
donc 3x * (-b-1) + 2bx - 3b - 3 - 2b = 0
<=> -xb - 6 -5b = 0
<=> -xb - 5b = 6
<=> -xb = 6 + 5b
<=> -x = (6+5b)/b
<=>x = (6+5b)/(-b)

Maintenant on remplace les "x":
3ax + 2bx - 3a - 2b = 0
<=> (18a + 15ab)/(-b) + (12b + 10b²)/(-b) - 3a - 2b = 0
<=> 18a + 15ab + 12b + 10b² + 3ab + 2b² = 0
<=> 18a + 18 ab + 12 b² + 12b = 0<=> -18b -18 - 18b² - 18b + 12b² + 12b = 0<=> -6b² - 24b - 18 = 0
On calcule le discriminant :
delta = 24² - 4*(-6) * (-18)
<=> delta = 576 - 432
<=> delta = 144

delta > 0 donc soit :
x= (24 -+ 12)/ (-12)
<=> x1 = -3 et x2=-1
Et voilà là je suis bloqué, car b à 2 valeurs possibles... je vais revérifier mes calculs, je recopie tout ça sur ma copie en attendant.

par irina Jeu 2 Sep 2010 - 10:05

Avant tu as écrit
a + b + c + 1 = 0
et maintenant tu écrit
a + b + 1 = 1
y a un truc qui ne vas pas !

DSL, j'ai pas répondu tout de suite, je regardai autre-chose.

P.S. :
J'ai pas vérifié les équations des tengeantes.

par pøx Jeu 2 Sep 2010 - 10:08

OMG, merci déjà là sa n'allait pas. Merci beaucoup.
J'ai éditer le message du haut, et je tombe sur un problème avec les solutions plausibles de b, en effet il à 2 possibilités, mais bon là j'ai plus trop le temps, j'ai écrit tout ça on verra bien, on fera le reste du problème ce soir, là j m'en vais en cours donner le dm^^ (incomplet mais pas grave, le principal c'est que j'ai compris après).
Merci encore à vous de m'aider.

par DiiamOnd Sam 13 Nov 2010 - 11:43

Bonjour,

Il se trouve que j'ai exactement le même dm à faire sauf que je ne m'en sort vraiment pas, je me suis aidé de vos échanges afin de me mettre sur la voie cependant il y a une étape (surement bête) que je ne comprend pas.
Il s'agit du calcul de la dérivée de f, en effet la formule est (f(a+x) -f(a))/x sachant que a = 0 il me semble non ?? Sauf qu'en dévelopant j'arrive à ax^2 + bx + c alors que vous trouvez a*3x^2 + b*2x + c donc je ne comprend pas, peut-être y a t-il une étape de calcul que j'ai oublié ... ?!

Merci pour votre aide :-)

par fanderpg Dim 14 Nov 2010 - 14:08

Hum... la fonction est bien ax^3 + bx^2 + cx + d
donc, en détaillant bien (avec des calculs inutiles)
f'(x)= 3ax^2 + 2bx + c car
dérivé de ax^3 = (0 * x^3 ) + (a * 3x^2) = 2ax^2
dérivé de bx^2 = (0 * x^2) + (b * 2bx^1) = 2bx
dérivé de cx = c
dérivé de d = 0

Je ne vois pas où est le problème, enfin je doute que j'ai bien cerné ta question.

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