petit probleme!

bonsoir,

j'ai un exercice qui me pose quelques probleme....

trouver un entier naturel de 4 chiffres qui est un carré parfait et tel que ses deux premiers chiffres, ainsi que ses deux derniers, sont egaux.


voila mes resultats:

j'ai le resultat final: 7744 = 88²

le petit probleme c'est que j'ai trouvé ce resultat aprés de nombreux calculs sur ma calculette!!!

et je ne pense pas que ça soit une bonne demonstration!!!

quelqu'un peut il m'aider svp!!

Soit n l'entier naturel que tu cherches, avec n² de la forme xxyy.
Soient a² de la forme xx et b² de la forme yy.

On pose a² = x*10+x = x*11
Et b² = y*10 + y = y*11

Avec x, y, a et b qui sont des entiers naturels inférieurs à 10.


n² = a² * 100 + b²
n² = a² * 10² + b²
n² = (a*10)² + b²

Ensuite, le théorème de Pythagore pourrait être utile...


C'est juste une idée, je n'affirme pas que ça soit la meilleure méthode !

je comprend pas a²=x*10+x=x*11

je trouve:

n²=11x*100+11y
n²=1100x+y

( d'ou sort le 11??? 7+4 ??)

dhetz a écrit:je comprend pas a²=x*10+x=x*11

Pour que a² soit le la forme xx (un entier de deux chiffres x identiques), on a bien a² = x*10 + x
Tout comme (exemple) le nombre 57 est égal à 5*10 + 7

Or, x*10 + x vaut 11x

on trouve bien n²=1100x+11y ????
mais a partir de la il faut determiner n x ou y ??

on a trois inconnues! comment faut il faire ??

merci de ton aide

On cherche n tel que n²=[xxyy]
n²=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11*(100x+y)
n est donc divisible par 11, ce qui réduit le nombre de solutions possibles!
Il faut également que (100x+y) soit divisible par 11
100x+y=99x+x+y
99x est divisible par 11, il faut que x+y le soit aussi. Seule possibilité x+y=11.
doc:
100x+y=99x+11=11*(9x+1)
n²=11*11*(9x+1)=11²*(9x+1)
Il faut donc que (9x+1) soit un carré.
Posons 9x+1=u²
9x=u²-1=(u+1)*(u-1)
donc x=(u+1)*(u-1)/9
Seule possibilité pour que x soit entier u+1=9 soit u=8 et donc x=7
comme x+y=11 on a y=4
donc n=7744 solution unique