congruences

bonjour, je ne comprend pas trés bien la question suivante;

n etant un entier naturel, déterminer suivant les valeurs de n les restes de la division de 12^n par 19

alors la j'ai une enorme imcomprehension!!

( le = egal ici est enfet un '" congru".

12^0 =..... [19]
12^1=......[19]
12^2=.......[19]
12^3=.......[19]
12^4=....[19]
...



je sais qu'il fau faire cela grace a un "model" mais alors j'ai pas du tout compris la mothode et je vois pas non plus en koi sa repond a la question.


merci de votre aide!

Bonjour dhetz,


12^0 = 1 donc 12^0 = 1 [19]
12^1 = 12 donc 12^1 = 12 [19]
12^2 = 144 = 7*19 + 11 donc 12^2 = 11 [19]
12^3 = 1728 = 90*19 + 18 donc 12^3 = 18 [19]
...

Donc les premiers restes sont 1 - 12 - 11 - 18 - ...

Au bout de quelques termes, tu devrais avoir une suite qui boucle.

J'attends tes calculs.

bonjour, oui j'y ai reflechie aujourd'hui je trouve ensuite:
12^4= 7 [19]
12^5=8 [19]
12^6= 1 [19]

d'ou:
....
12^(6k+2)=11 [19]
12^(6k+3)=18[19]
....


il faut que j'en deduise que
2007^2007 - 18 est divisible pas 19

j'ai utiliser :
12^3=18 [19]
et je me suis dis que etant donner que l'on a un cycle a 6

je devais faire:

12 ^(6n+3) =18 [19]

je ne sais pas si mon raisonnement est bon! pouvez vous m'aider svp!

OK. Il faut faire la même chose avec 2007^n par 19.

Tu devrais ainsi montrer que 2007^2007 = 18 [19].


Edit : Il vaut mieux partir de 2007 = 19*a + b pour ne pas refaire la même chose que la première question. D'où le "en déduire".

oui j'ai trouver 2007^2007 = 18 [19]
et on sait deja que 12^3=18[19]

dc la somme des deux est divisible pas 19.


je peux encore vous demander votre aide pour une derniere question??

demontrer que pour tout entier naturel n superieur ou egal à 1, le nombre N= 31^(6n+1)+50^(6n-2)
est divisible pas 19.

j'ai fais:

50 = 12 [19]
31=12 [19]
et 12^(6k+1)=12

voila!

dhetz a écrit:dc la somme des deux est divisible pas 19.

Il faut le détailler un peu plus ça.

comme je peux detailler ça ?
je vois pas comment expliquer mon raisonnement!!

Comment prouves-tu que 2007^2007 = 18 [19] ? (en détaillant ton raisonnement)

je l'ai fai sur un programme, le calcul etait trop grand pour rentrer sur ma calculette.

Euh... quel genre de programme ? Parce que 2007^2007 me parait un peu bien grand !

Et surtout, ça ne démontre en rien la question.

oui en effet c'est trés trés grand!!!!!
j'ai verifier et c'est bien la bonne reponse! pkoi sa ne peut pas demontrer la question??

Alors je te redemande : avec quel programme as-tu vérifié ?


Tu n'as en rien répondu à la question.

Le principe des congruences, c'est justement de s'affranchir des gros calculs.


Si en contrôle on te demande pourquoi 2007^2007 = 18 [19], que réponds-tu ? Tu ne peux pas dire que tu l'as vérifié avec ta calculatrice, le prof ne te croira pas et tu ne peux pas utiliser de programme. Qu'écris-tu donc sur ta copie ?

pour 2007= 12 ou 18 ( j'ai pplus ma copie sous les yeux) [19]
puis j'ai utiliser la question 1. pour dire que 12^(6k+3) =18