Tracer une droite affine et déterminer son équation, réponse au message de mayeul

Réponse au message de Mayeul:

Bonjour mayeul

Une droite est définie par deux points, on parlera par exemple de droite (AB), A et B étant deux points appartenant à la droite.

Pour tracer une droite affine, il faut connaître, soit l'équation de cette droite, soit les coordonnées de deux points appartenant à cette droite.


I) Si vous avez l'équation de la droite, par exemple : y = 3x + 2.

vous choisissez au hasard un point A(xA,yA) d'abscisse xA = 4 par exemple et vous calculez son odonnée yA à l'aide de l'équation :

yA = (3 . xA) + 2
yA = (3 . 4) + 2
yA = 12 + 2

yA = 14
Vous avez maintenant un point A (4,14).

Pour tacer une droite, il faut 2 points, donc on refait la même chose avec un point B(xB,yB) d'abscisse xB choisi au hasard mais différente de celle de A, on prendra par exemple xB = 1

on calcul yB :

yB = (3 .xB) + 2
yB= (3 . 1) + 2
yB = 3 + 2

yB = 5
vous avez maintenant un deuxème point B(1,5).

Nous avons maintenant deux points qui définissent la droite (AB)que nous voulons tracer :
A(4,14) et b(1,5).

Vous positionnez ces deux poinst sur votre repère et il ne vous reste plus qu'à tracer la droite passant par ces deux points, c'est la droite (AB) d'équation: y = 3x + 2.



II) Si vous n'avez pas l'équation de la droite mais que vous connaissez les coordonnées de deux points appartenant à la droite.

Prenons les points de l'exemple précédent : A(4,14) et B(1,5).


Pour obtenir la droite (AB), il suffit de placer les deux points sur votre graphique et de tracer à la règle la droite passant par ces deux points.



III) Détermination de l'équation d'une droite affine dont deux points sont connus, A(xA,yB) et B(xB,yB)

L'équation de la droite affie portant ces deux point est de la forme : y = ax + b.

Il faut déterminer les valeurs de a et b.


1) Première méthode:

En prenant les point A et B : a = (yB-yA)/(xB-xA) (différence des ordonnées sur différence des abscisses)

on peut inverser l'ordre des coordonnées de A et de B, cela ne modifie pas le résultat donc:

a = (yA-yB) / (xA-xB) (par contre on met toujours les ordonnées en haut et les abscisses en bas).


Les coordonnées de A et de B vérifient l'équation de la droite, on peut donc écrire:

(I) yA = a.xA + b

(II) yB = a.xB + b

Si on reprend les valeurs précédentes A(4,14) et B(1,5), on obtient:

(I) 14 = 4a + b

(II) 5 = 1.a + b

Calcul de "a": a = (5 -14) / (1 - 4) = -9 /-3 , a = [(yB-yA) / (xB-xA)]

a = 3.

Maintenant, on remplace "a" par sa valeur dans l'une des équations (I) et (II), l'équation (II) par exemple :

a + b = 5

b = 5 - a

b = 5 - 3

b = 2.


Les coefficients sont donc a = 3 et b = 2 , l'équation de la droite s'écrit:

y = 3x + 2 [c'est bien l'équation que nous avions choisie au I)]







2) Deuxième méthode:

Les coordonnées des deux points A et B vérifient l'équation de la droite, on peut donc écrire :

yA = a.xA + b et

yB = a.xB + b

En remplaçant xA, yA, xB et yB par leurs valeurs, on obtient :

1 = 4a + b et

5= (1.a) + b

soit le système de deux équations à deux inconnues :

14 = 4a + b (équation I)

5 = a + b (équation II)

On peut résoudre ce système par substitution ou par élimination d'une des variables :


a) Méthode par substitution de la valeur d'une variable exprimée en fonction de ladeuxième à cette même deuxième:


On isole une variable dans une des équations, par exemple b dans la deuxième équation :

5 = a + b

b = 5 - a

Ensuite, on remplace b par sa valeur dans la première équation :

(substitution de la valeur de "b" exprime par rapport à "a" , ici "5 - a" à b ; autrement dit on remplace dans l'équation "b" par sa valeur exprimée en fonction de " " ici "5 -a" .)

Note de vocabulaire : pour dire remplacer le lait par l'eau, on dira substituer l'eau au lait.

14 = 4a + b avec b = 5 -a

14 = 4a + (5 -a)

14 = 4a + 5 - a

14 = 3a + 5

3a + 5 = 14

3a = 14 - 5

3a = 9

a = 9/3

a = 3

Ensuite on remplace a par sa valeur dans l'une des équations, par exemple la deuxième :

5 = a + b avec a = 3

5 = 3 +b

3 + b = 5

b = 5 - 3

b= 2

On possède maintenant les deux constantes qui permettent de d'écrire l'équation de la droite affine :

l'équation st de la forme y = ax + b avec a = 3 et b = 2


l'équation est donc :

y = 3x + 2 , on retrouve bien l'équation que nous avons utilisée plus haut pour calculer les coordonnées des points A et B.



b) Méthode par élimination d'une de deux variables.


b-1) Elimination de "b".

Reprenons les deux équations précédentes :

équation (I) : 4a + b = 14

équation (II) : a + b = 5

Nous remarquons que dans les deux cas, la variable "b" est affublée du même coefficient "1", en soustrayant la deuxième équation à la première membre à membre, la variable "b" disparaîtra :

(I) -(II) :

(4a - a) + (b - b) = 14 - 5

3a = 9

a = 9/3

a = 3

Ensuite nous remplaçons "a" par sa valeur dans l'une des équation, par exemple la deuxième nous obtenons :

a + b = 5

3 + b = 5

b = 5 - 3

b = 2


a = 3 et b = 2 , nous retrouvons bien l'équation précédente : y = 3x + 2



b-2) Elimination de "a".

Reprenons les deux équations :

équation (I) : 4a + b = 14

équation (II) : a + b = 5

La variable "a" n'ayant pas le même coefficient, nous multiplierons la l'équation (II) par 4 (coefficient de "a" dans l'équation (I)), afin que la variable "a" ait le même coefficient dans les deux équations.

ce qui donne :

équation (I) : 4a + b = 14
équation (II) multipliée par 4 : 4a + 4b = 20

ensuite, nous soustrayons (I) à (II) :

(4a -4a) + (4b - b) = 20 - 14

3b = 6 ( la variable "a" a disparu)

b = 6/3

b = 2

maintenant, il suffit de calculer "a" en remplaçant "b" par sa valeur dans l'une des équations, la 2ème par exemple :

a + b = 5

a + 2 = 5

a = 5 - 2

a = 3


a = 3 et b = 2, nous retrouvons toujours l'équation précédentes y = 3x = 2.


Voilà, c'est fini.
J'espère que cela vous aidera.

Bonne journée.

mi_li_mi