Réponse à Butterfly Nebula, concernant la résolution d'un système trigonométrique

Réponse à Butterfly Nebula, à propôs de la résolution du système d'équations trigonométriques :


Bonjour Butterfly Nebula

Pour résoudre le système d'équations trigonométriques:

cos a = sin b
sin a = cos b

On se servira des formules:

cos x = sin [( /2) - x] et

sin x = cos [( /2) - x]


Dans le cas qui nous intéresse, nous utiliserons "a" à la place de "x",

et nous n'oublierons pas que quelque soit ( ) un angle "A", il existe ( ) un nombre infini d'angles "A + 2k ",

avec k , ayant même sinus et même cosinus.


par exemple:

si A = /6 (soit 30°), cos A = 3/2 et,

si k = 1, cos (A + 2 ) = 3/2 , A + 2 = 13 /6

si k = 2, cos (A+ 4 ) = cos (25 /6) = ( 3)/2

si k = -1, cos (A - 2 ) = cos (-11 : /6) = ( 3)/2 .


Pour en revenir à la résolution de l'exercice, on peut écrire :

cos a = sin[( /2) - a + 2k ]

sin a = cos [( /2) - a + 2k ]

k .


Par comparaison avec les équations de l'énoncé :

cos a = sin b
sin a = cos b

b ]( /2) - a + 2k ]

a + b = ( /2) + 2k


l'ensemble des solutions est donc :


S = {(a,b) ^2 / a + b = /2 modulo 2k , avec k }.


On lit :

S égale l'ensemble des couples appartenant à ^2 tels que a plus b égale pi sur deux modulo deux k pi, avec k

appartenant à


Notes:

^2 = croix ou au carré

modulo 2k : à 2k près.



Vérification:

si a = 2 /3

b = ( /2) - (2 /3) + 2k

b = -( /6) + 2k


si k = 0:

b = -( /6)


si k = 1:

b = -( /6) + 2

b = 11 /6


si k = 2:

b = -( /6) + 4

b = 23 /6


si k = -1 ( k est négatif)

b = -( /6) - 2

b = -(13 /6)


Les angles b [ -( /6) ; 11 /6 ; 23 /6 ; -(13 :6) ] obtenus sont tous situés au même endroit sur le cercle trigonométrique et ont donc tous même sinus et même cosinus.

Si on fait une vérification :

a = 2 /3, cos a = -(1/2) et sin a = ( 3)/2

si on prend b = -( /6) par exemple : cos b = ( 3)/2 et sin b = -(1/2)



On voit bien que cos a = sin b et sin a = cos b.




Je crois que c'est fini,

j'espère que cela vous aidera

bonne journée.

mi_li_mi