fonctions et trinôme

Bonjour, je suis en première S, j’ai vu le chapitre sur les trinôme du second degré et nous commençons sur les fonctions. J’ai besoin d’aide pour ces questions :

Démontrer n’est pas résoudre…

1) Démontrer que pour tout réel x, ((x+1)/2)au carré + ((x-1)/2) au carré= x

Je n’arrive pas à démontrer car j’ai essayé avec x=5 et l’équation n’est pas égale à 5 au final mais à 13, est-ce un piège ? Qu’en pensez-vous ? De plus, le titre de l’exercice est démontrer n’est pas résoudre.

2) Résoudre dans R l’équation ((x+1)/2)au carré + ((x-1)/2) au carré= x au cube – x.
Là, je ne sais pas comment la résoudre. Dois-je développer ? Obtenir un trinôme du second degré ?

Merci de m’aider.

Voilà, j'ai cherché un peu et je pense que tu as raison, ((x+1)/2)²+((x-1)/2)² n'est pas égal a x.

Peut-être tu devrais voir si l'énoncé dit pas ((x+1)/2)² - ((x-1)/2)².
Là, si tu developpe ce terme, tu retombe sur x, sans aucune exception, ça marche pour tous x. Ce faisant, tu démontres bienla relation.

Pour l'autre question, je sais pas si ça peut t'aider mais x au cube -x= x*(x²-1) .
Voilà. Dis si ça t'aide pas.

Blad a écrit:Voilà, j'ai cherché un peu et je pense que tu as raison, ((x+1)/2)²+((x-1)/2)² n'est pas égal a x.

Oui, c'est clair de toute façon le premier est une somme de deux carrés donc toujours positif. Donc pour x négatif, ça risque de pas marcher fort déjà ...

Blad a écrit:Peut-être tu devrais voir si l'énoncé dit pas ((x+1)/2)² - ((x-1)/2)².
Là, si tu developpe ce terme, tu retombe sur x, sans aucune exception, ça marche pour tous x. Ce faisant, tu démontres bienla relation.

Il n'y a aucun doute c'est bien ça qu'il faut démontrer.

Pour la deuxième, a priori c'est pareil, il faut considérer que c'est un moins et s'aider de la première, car sinon l'équation n'a pas de solution évidente grace à laquelle on pourrait factoriser (une seule solution comprise strictement entre 1 et 3/2) et je doute qu'on voit la résolution des équations du troisième degré en première

[ EDIT: je me suis amusé à calculer la solution exacte du problème comme tu l'as écrit (avec un + entre les deux termes), elle a vraiment une sale tête. Aucune chance qu'on vous demande ça en première. Donc soit tu t'es trompé en recopiant, soit il y a une erreur dans l'énoncé) ]

Oui, je pense que c'est un signe - entre les deux. Alors, pour la 2, je devrais montrer que x=x au cube - x? Mais je ne vois pas comment le prouver.Et pour la 1ère je trouve x*(x+1).

pmpt a écrit:Oui, je pense que c'est un signe - entre les deux.

Oui, ça c'est sûr. Si c'était un +, la solution serait:

C'est beau non ?

pmpt a écrit:Alors, pour la 2, je devrais montrer que x=x au cube - x? Mais je ne vois pas comment le prouver.

Tu ne dois pas le montrer, ce n'est évidemment pas vrai dans le cas général. Tu dois juste résoudre l'équation. Tu devrais trouver 3 solutions. Il suffit de factoriser.

pmpt a écrit:Et pour la 1ère je trouve x*(x+1).

Donne le détail de tes calculs, ça ne peut être qu'une étourderie. Un petit conseil quand-même, utilise au maximum les identités remarquables. Ici tu n'as pas besoin de développer et de simplifier (même si ça se fait bien), tu peux directement utiliser a² - b² = (a-b)(a+b).

Je n’arrive pas à trouver 3 solutions. J’ai fait :

X=x au cube – x
X= x(x au carré – 1)
1=x au carré – 1
0= x au carré –2

Je trouve x=racine de 2 ou – racine de 2.

Et dans quel cas as-tu le droit de simplifier par x comme tu l'as fait ?

lorsque x est un facteur commun, non?

pmpt a écrit:lorsque x est un facteur commun, non?

Oui bien sûr, mais simplifier par x revient à diviser par x. Es-tu d'avoir le droit de le faire pour toutes les valeurs de x ?

non, tous sauf pour x=0, mais ma simplification n'est donc pas valable ici?

Elle est valable pour x différent de 0. Tu dois donc aussi vérifier si 0 est solution ou non.

Oui, 0 est solution aussi, donc, les 3 solutions sont: -racine de 2, racine de 2 et 0?

Oui. La prochaine fois fais attention. Il faut toujours vérifier que tu n'élimines pas une solution quand tu fais une simplification.

Un exemple classique qui montre que certaines simplifications peuvent être dangereuses:
Posons a = b = 1
On a a² = a et b² = b, donc a² - b² = a - b
Or a² - b² = (a-b)(a+b) donc : (a-b)(a+b) = a-b
On simplifie par a-b et on obtient a+b = 1
Or a = 1 et b = 1, d'où 2=1 !!!!!

Oui, très bon exemple!

En tout cas, je vous remercie de m'avoir aidé pour ces deux questions que j'ai totalement comprises maintenant.