La forme

Combien y a-t-il de faces, d'arrêtes et de sommets sur cette figure?

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P.S. Je vous autorise à utiliser le théorème de Descartes-Euler ^^

je connais pas ce théorème...

La relation d'Euler est la suivante F-A+S=2 où F désigne le nombre de faces, A le nombre d'arêtes et S le nombre de sommets d'un polyèdre convexe.

Je désigne par F le nombre total de faces, par T le nombre de faces triangulaires, par C le nombre de faces carrées et par P le nombre de faces pentagonales, par A le nombre d'arêtes et par S le nombre de sommets de ce polyèdre.

Comme le polyèdre est convexe, il vérifie la relation d'Euler : F-A+S=2. Je vais exprimer F et A en fonction de S, pour trouver S. Pour commencer, je vais exprimer F et A en fonction de T, C et P. Il est évident qu'on a T+C+P=F. Il est clair qu'on a également 2A=3T+4C+5P, puisque chaque arête est une arête de deux faces exactement et que les faces triangulaires, carrées et pentagonales ont respectivement 3, 4 et 5 arêtes. J'ai donc ramené la relation d'Euler à ceci :
T+C+P-3T/2-4C/2-5P/2+S=2, c'est-à-dire à -T/2-C-3P/2+S=2.

Il reste à trouver T, C et P en fonction de S.

Tout d'abord, on constate que chaque sommet touche exactement un pentagone. On a donc S=5P et la relation d'Euler devient -T/2-C-3S/10+S=2. Ensuite, on remarque que un cinquième des sommets touchent un carré. On a donc S/5=4C et la relation d'Euler devient -T/2-S/20-3S/10+S=2. Finalement, on remarque que chaque pentagone est adjacent à cinq triangles gris et que tous les triangles gris sont adjacents à un et un seul pentagone. De plus, chaque pentagone à un sommet commun avec quatre triangles bruns et chaque triangle brunc à chacun de ses trois sommets en commun avec un et un seul pentagone. On a donc T=5P+4P/3=19P/3=19S/15 et la relation d'Euler devient -19S/30-S/20-3S/10+S=2. Cette équation se réduit alors à S=120.

Conclusion
P=24, C=6, T=152 (donc 120 gris et 32 bruns), F=182, A=300, S=120.

BRAVO !!!
T'es un génie!
J't'accorde 20 points, ephemere ^^

Merci !

De rien ^^

Je t'en mettrais même plutôt 50...