petit problème d'arithmétique amusant ^^

Soient 2 entiers a et b compris entre 2 et 200 ;
Simon connaît la somme (et rien d'autre) de a et b.
Patrick connaît le produit (et rien d'autre de a et b.

Patrick : je ne peux pas déterminer a et b
Simon : je le savais
Patrick : alors je viens de trouver a et b
Simon : alors moi aussi.

Déterminez a et b ^^

En fait, j'ai trouvé une solution mais je me demande si elle est unique... Et je ne vois pas de moyen de montrer son unicité sans faire des calculs au cas par cas...

A mon avis, la solution est unique parce que Patrick vient de trouver un couple unique (a;b) alors qu'avant d'entendre la parole de Simon : "je le savais", il devait avoir trouvé plusieurs couples...

Ca ressemble un peu aux énigmes concernant les âges avec comme indication, la présence d'une aînée...

pour le produit et la somme qu'ont reçus Patrick et Simon, la solution doit évidemment être unique. Le problème est qu'on ne connaît pas ce produit et cette somme, et je n'ai pas montré que le couple qde ce type :ue j'ai trouvé (4 et 13) était l'unique solution.

Pour moi, la solution est de ce type : Patrick décompose le produit P en facteurs premiers ; s'il ne peut pas à partir de ça trouver les entiers a et b, c'est que "P se décompose en 3 nombres premiers au moins et P n'est pas un égal à un nombre premier au cube"
Si Simon le savait, ça implique que "la somme est un nombre impair"
pour que Patrick puisse en déduire a et b à partir de P, ça veut dire que la décomposition en facteurs premiers de P ne contient un seul nombre premier impair, c-a-d que la décomposition est de la forme n*2^q (avec n premier)
Pour que Simon trouve alors a et b, il faut que la somme s'écrive de façon unique S=2^q+n (avec n premier).
ça marche avec a=13 et b=4, mais j'ignore si :
1) cette solution est unique
2) à supposer qu'elle le soit, si on pseut le démontrer autrement que par des calculs bourrins au cas par cas...

Je connais cette énigme. Elle est assez méchante. Je n'ai jamais vu de solution théorique complète. On peut faire pas mal de choses, notemment utiliser la conjecture de Goldbach.
Sinon, la solution est bien unique, j'ai un programme en C qui fait le test.
Ca marche même pour des nombres compris entre 2 et N pour N inférieur à 800 et eds poussières.

matthias a écrit:
Sinon, la solution est bien unique, j'ai un programme en C qui fait le test.
Ca marche même pour des nombres compris entre 2 et N pour N inférieur à 800 et eds poussières.

T'as été jusqu'à 800 car après, ça donne une autre solution possible ou c'est à cause d'une question de puissance de calcul... ?

Julien a écrit:

matthias a écrit:
Sinon, la solution est bien unique, j'ai un programme en C qui fait le test.
Ca marche même pour des nombres compris entre 2 et N pour N inférieur à 800 et eds poussières.

T'as été jusqu'à 800 car après, ça donne une autre solution possible ou c'est à cause d'une question de puissance de calcul... ?

Je ne sais plus à combien est la limite (genre 840), mais après il ya bien 2 solutions. Pas de problème de puissance de calcul.

et ma solution est la bonne ?

Oui, je crois bien que c'est 13 et 4

matthias a écrit:
Je ne sais plus à combien est la limite (genre 840), mais après il ya bien 2 solutions. Pas de problème de puissance de calcul.

Ah, OK... merci.

C'est toi qui a écrit le programme ?

j'ai eu de la chance de la trouver alors, puisque j'ai dû tatonner
ce serait bien de trouver une démonstration qui limite au moins le nombre de solutions possibles... parce que là avec ma démonstration, il y a qd même 7xnb de nombres premiers<200 = environ 280 couples à tester...

Julien a écrit:C'est toi qui a écrit le programme ?

Oui, rien de bien difficile.
Au début j'avais fait une version qui utilisait les quelque résultats théoriques que j'avait, et puis j'en ai finalement écrit un plus simple et plus bourrin.

Troll, j'essaierai de retrouver les résultats que j'avais. Je ne me souviens pas du tout du nombre de couples qui restaient à tester.