Irrationalité de racine carrée de 2

par **Julien** Ven 24 Juin 2005 - 8:36

Salut,

Il n'existe aucun rationnel de carré 2.

En effet, s'il existait (m;n) € N*² tel que 2 = (m/n)², les exposants de 2 dans les décompositions primaires de m² et 2n² seraient de parités contraires.

2 = (m/n)² <=> m² = 2n² mais je ne vois de quelle parité on discute...

Est-ce-que dans les décompositions en facteurs premiers :
m = (2^j)*(3^k)*(5^l)...
n = (2^j')*(3^k')*(5^l')...
j=j' ?

Si c'est le cas, alors les parités des exposants de 2 sont bien différentes, mais pourquoi j serait égal à j'... ?

par matthias Ven 24 Juin 2005 - 9:56

Julien a écrit:m = (2^j)*(3^k)*(5^l)...
n = (2^j')*(3^k')*(5^l')...

Or m²=2n², donc 2j = 2j' + 1, ce qui donne un entier pair = un entier impair.

par **Julien** Ven 24 Juin 2005 - 10:53

matthias a écrit:
Or m²=2n², donc 2j = 2j' + 1, ce qui donne un entier pair = un entier impair.

Donc j=j' ?

par matthieu Ven 24 Juin 2005 - 11:09

Non, pas j = j', mais tu peux en conclure que c'est impossible, donc qu'il n'existe aucun rationnel dont le carré vaut 2 (raisonnement par l'absurde).

par **Julien** Ven 24 Juin 2005 - 18:51

matthieu a écrit:Non, pas j = j', mais tu peux en conclure que c'est impossible, donc qu'il n'existe aucun rationnel dont le carré vaut 2 (raisonnement par l'absurde).

Mais pourquoi on peut dire que c'est impossible ?

par matthias Sam 25 Juin 2005 - 7:15

Julien a écrit:Mais pourquoi on peut dire que c'est impossible ?

Si tu es d'accord pour dire que l'on a nécessairement 2j = 2j' + 1
Il n'y a pas de solution avec j et j' entiers naturels.

par **Julien** Sam 25 Juin 2005 - 7:40

matthias a écrit:Si tu es d'accord pour dire que l'on a nécessairement 2j = 2j' + 1
Il n'y a pas de solution avec j et j' entiers naturels.

Mouais... quelque chose m'échappe, mais je sui d'accord avec vous. Smile

par Doktor Lun 29 Aoû 2005 - 8:40

Autre méthode plus directe (qui revient exactement au même,s seule la présentation diffère): Par l'absurde, soit, {p,q} appartenant à N*²,

2= p² / q², avec p/q fraction irréductible égale à racine de 2

=> q²=2p²
=>q² pair
=>q pair
=> q=2k, k € N
=> (q²=2p² => p²= 2k²)
=> p² pair
=> p pair => p/q non irréductible, donc contradiction.

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