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trouver des constantes (calcul fractions)

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Message par Matheux94 Dim 19 Avr 2009 - 14:31

Bonjour,

j'ai tout un exo sur des intégrales à faire, mais on ne peut pas faire la suite sans pouvoir répondre à la question 1 qui bien sûr...me bloque ^^

je vous la donne :


Soit la fonction :

f(x)= 1 / ( (x+1)² (x-1) )

1) Trouver des constantes réelles a, b, c telles que pour tout x différent de 1 et -1

f(x)=( a/(x+1)² ) + ( b/(x+1) ) + ( c/(x-1) )

(On pourra partir de cette deuxième forme, mettre au même dénominateur et identifier les coefficients de la première forme de f)

j'ai mis au même dénominateur, mais même après ça, je ne vois pas l'astuce, j'ai la forte manie de ne pas voir les choses évidentes ou simples qui sont devant mes yeux lol d'où mon appel à vous pour me les ouvrir...les yeux ^^

merci Smile

Matheux94
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Message par Julien Dim 19 Avr 2009 - 18:23

Bonjour,

tu obtiens quoi une fois que t'as tout mis au même dénominateur ?
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Message par Matheux94 Lun 20 Avr 2009 - 14:14

En faite je sais pas sous quel forme il faut voir...

sans développer on a :

( a(x+1)(x-1) + b(x+1)²(x-1) + c(x+1)²(x+1) ) / ( (x+1)² (x+1) (x-1) )

en developpant un peu on a :

( a(x²-1) + b(x^3 + x² - x -1) + c(x^3 + 3x² + 3x + 1) ) / ( (x+1)² (x+1) (x-1) )

...

Matheux94
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Message par Julien Lun 20 Avr 2009 - 14:21

Ah mais en fait, mettre tout sous le même dénominateur signifie : trouver le meilleur dénominateur commun. Et ce meilleur dénominateur commun n'est pas (x+1)² (x+1) (x-1) mais plutôt (x+1)² (x-1) car ton facteur x+1 se trouve déjà dans le dénominateur (x+1)² ...

Quand tu as tout mis sous ce dénominateur donc, tu identifies les deux polynômes des numérateurs. Tu comprends ?
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Message par Matheux94 Mar 21 Avr 2009 - 11:40

mmmmoè lol

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Message par Julien Mar 21 Avr 2009 - 11:49

As-tu tout mis sous (x+1)² (x-1) comme dénominateur ?
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Message par Matheux94 Mar 21 Avr 2009 - 12:21

Oui ça donne:

( a (x-1) + b (x²-1) + c (x+1)² / (x+1)² (x-1) )

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Message par Julien Mar 21 Avr 2009 - 13:35

OK c'est bien ça. A présent, il te faut tout développer pour obtenir un terme en x², un en x et une constante. Après quoi, tu identifies ce polynôme avec 1 car f(x)= 1 / ( (x+1)² (x-1) ).

J'attends ta réponse. Smile
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Message par Matheux94 Mer 22 Avr 2009 - 12:16

Bonjour,

alors en developpant on a donc :

( ax-a+bx²-b+cx²+2cx+c ) / (x+1)²(x-1)

c'est à dire : ( x²(b+c) + x(a+2c) - (a+b-c) ) / (x+1)²(x-1)

donc il faut que x²(b+c) + x(a+2c) - (a+b-c) = 1 ...

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Message par Julien Mer 22 Avr 2009 - 13:06

Matheux94 a écrit:donc il faut que x²(b+c) + x(a+2c) - (a+b-c) = 1 ...
Exactement. Maintenant, tu sais que deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degrè et leurs coefficients de leurs termes de même degrè sont deux à deux égaux.

Or 1=0x²+0x+1 donc tu obtiens un système qu'il te faut résoudre.
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Message par Matheux94 Mer 22 Avr 2009 - 14:11

whouooouuu merciiiii

a= -1/2
b= -1/4
c= 1/4

après vérification, ça maaaaarche !

merci beaucoup !!

se fut long à la comprenette ^^ mais j'ai trouvé !! merci beaucoup à vous, sans qui je n'aurais à coup sûr jamais trouvé lol

comme le disais moi même: "vous êtes un dix pensable ce qui ne se multiplie pas de nos jours et à même tendance à se réduire avant même de se développer ! vive les maths Laughing "

merci et @++ (et oui certainement désolé lol) ^^

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Message par Julien Mer 22 Avr 2009 - 14:24

Avec plaisir et à binetôt ! Content de t'avoir aidé ! Smile
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Message par Matheux94 Jeu 23 Avr 2009 - 12:27

JUste pour info ^^

il faut après calculer l'intégrale
3
trouver des constantes (calcul fractions) 735908 dx / ( (x+1)²(x-1) )
2

donc c'est de la forme u'/u² * v'/v c'est à dire -1/u * ln v ??

mais heu, faudrait pas utiliser ce qu'on a fait avant ? parce que si on nous a demandé les constantes c'est pour quelque chose je pense nan ?

merci pour la petite aide supplémentaire ^^

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Message par Julien Jeu 23 Avr 2009 - 12:36

Oui, il te faut te servir de ce que tu as avant en effet.

Ton intégrale demandée est l'intégrale de 2 à 3 de 1/((x+1)²(x-1)) or 1/((x+1)²(x-1)) = ( a (x-1) + b (x²-1) + c (x+1)² / (x+1)² (x-1) ) (en remplaçant a, b et c par ce qui va bien).
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Message par Matheux94 Jeu 23 Avr 2009 - 12:52

ah oui voilà, ben du coup l'intégrale est simple ?? puisque là nous pouvons faire des simplifications au dénominateur.

finalement il nous reste que

-1/4 trouver des constantes (calcul fractions) 735908 (de 2 à 3) x² dx

et je trouve -19/12

c'est ça ou... ça me parait un peu trop beaucoup bizarre cette affaire lol

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Message par Julien Jeu 23 Avr 2009 - 17:36

Je ne sais pas comment tu trouves ça mais quand tu simplifies chacune de tes 3 fractions, il te reste du x en dénominateur... Pour celle avec le a par exemple, après simplification, il reste a/(x+1)² donc il te faut intégrer a/(1+x)² entre 2 et 3 et pareil pour les deux autres fractions...
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Message par Matheux94 Ven 24 Avr 2009 - 18:12

Attends je me suis gourré en reprenant la formule !

bon pour faire simple lol

f(x)=-1/2(x+1)² -1/4(x+1)+1/4(x-1)

donc comme intégrale on a I= -1/2[-1/(x+1)] (de 2 à 3) - 1/4 [ln(x+1)] (de 2 à 3) + 1/4 [ln(x-1)] (de 2 à 3)

=-1/2 (-1/4+1/3) - 1/4(ln4-ln3) + 1/4(ln2-ln1)
c'est à dire -1/24 - 1/4(ln 4/3) + 1/4 ln2
= -1/24 - 1/4(ln 4/3-ln2)
= -1/24 -1/4(ln 2/3)

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Message par Julien Ven 24 Avr 2009 - 20:23

C'est le bon raisonnement. Après, si tu veux que je vérifie les calculs, dis-le moi.
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Message par Matheux94 Sam 25 Avr 2009 - 15:24

si c'est possible oui j'aimerais bien si tu as un petit moment, merci Embarassed

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Message par Julien Sam 25 Avr 2009 - 15:39

Et bien ça m'a l'air d'être juste ! Smile
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Message par Matheux94 Sam 25 Avr 2009 - 15:53

génial !

quel rapidité, franchement je me remet pas de la qualité de tes interventions, ton forum est d'une aide grandiose, j'en parlerais autour de moi tiens ! Smile

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Message par Julien Sam 25 Avr 2009 - 15:56

Matheux94 a écrit:ton forum est d'une aide grandiose, j'en parlerais autour de moi tiens ! Smile
Avec plaisir ! Very Happy
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Message par Matheux94 Dim 26 Avr 2009 - 12:29

mais attend qui a dit que c'était fini lol!

lol, j'ai juste une dernière petite chose sur cet exo...

on demande après par changement de variable de déduire l'intégrale

ln3
trouver des constantes (calcul fractions) 735908 e^t dt /(e^t+1)(e^t-1)
ln2

je l'ai fait il y a pas de problème,
donc on pose v(t)=e^t

après on démontre l'injectivité, la surjectivité, et donc la bijectivité, la dérivabilité, de dérivée continue etc... pas de problème !

mais je voulais juste savoir quelque chose ?

on retrouve quoiqu'il arrive le même résultat que l'intégrale d'avant n'est-ce pas ?

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Message par Julien Dim 26 Avr 2009 - 16:36

Matheux94 a écrit:
on retrouve quoiqu'il arrive le même résultat que l'intégrale d'avant n'est-ce pas ?
C'est sûrement le but de l'exercice ! Very Happy

Mais justement, il ne manquerait pas un carré par hasard ? (e^t+1)² au lieu de (e^t+1) ?
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Message par Matheux94 Dim 26 Avr 2009 - 19:01

sisi oui ^^

oki oki merci beaucoup de m'avoir aidé !!

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