DM de maths ( Noova le retour ^^)

Bien le bonjour à tous, cela fesait un petit moment que je n'avais pas posté ici,

Bon la rentrée en Terminale S et dèja un Dm de Maths, quelle horreur =)
Dès le premier exercice toute la classe sèche et se dessèche lol
J'espère que vous pourrez m'aider !
Il y a trois exos, si on pouvait les voir un par un =)

Exercice n°1

Déterminer avec la définition la limite de la suite (Un) définie par Un= (1-3n) / ( n+2 )

J'ai tout d'abord proposé un intervalle ouvert I (contenant 0?)

On note I= ]-Alpha ; Alpha [ avec Alpha 0

-Alph 1-3n / n+2 Alph ( -Alpha Un toujours vrai ? )

1-3n / n+2 Alph

1-3n / Alph n+2

-3n / Alph 1+ n

??????????? ( -3 / Alph (1+n)/n ?? )

Salut Noova, on va voir ce qu'on peut faire !

En fait, c'est très facile de deviner la limite :
quand n->oo, 1-3n ~ -3n et n+2 ~ n.
En effet, 10000000 ou 10000002, c'est équivalent. De même que -30000000 et -29999999.
Du coup, (1-3n)/(n+2) ~ -3n/n soit -3. Donc la limite est -3.

Pour rédiger avec la définition, il faut calculer |Un-(-3)|...

aaa ouééé je vois, par contre calculer |Un-(-3)| je ne me souviens pas avoir fais quelque chose comme ça dans ma petite vie d'étudiant ^^

Arf, on fait jamais comme ça...

Bon, sinon, tu peux aussi décomposer ta fraction. 1/(n+2) - 3n/(n+2).

On n'a jamais fais comme ça non plus ^^
Bon une fois la fonction décomposée, il faut faire quoi ?

Sachant qu'on doit déterminer la limite avec la définition, on l'emploie cet intervalle alors ou pas ? On a fait comme ça dans le cours, mais on n'avait qu'un n au dénominateur, au numérateur c'était toujours 1.

OK.

Bon, alors, tu cherches à trouver un alpha tel que -alpha0.

Or, il est évident que pour n>0, Un<0. Si Un<0, alors Un
Maintenant, il faut minorer Un, ie trouver un m tel que m
Or Un=(1-3n)/(n+2).
Et (1-3n)/(n+2) > -3n/(n+2) > -3n/n = -3
Donc Un > -3.

D'où la limite.

C'est mieux comme ça ?

Sans mes encadrements avec mes Alphas je suis complètement perdu :/

On a pour habitude d'exprimer n en fonction de alpha, n supérieur a qq chose alpha pour que Un appartienne a l'intervalle ]-Alpha;+alpha[

Tu peux me poster l'exemple pour voir ?

Exemple: Soit Un= 1/ (2n+1)
Déterminer la limite machin chose,

Soit un intervalle ouvert I=] -Alpha;Alpha[ avec Alpha superieur à 0

-Alpha 1/ (2n+1) Alpha

-Alpha 1/ (2n+1) c est toujours vrai

1/ 2n+1 Alpha²

1/Alpha² 2n+1

(1/ 2Alpha²) - (1/2) n

1/2( 1/Alpha² -1) n

Donc pour n à 1/2( 1/Alpha² -1) , Un I
Il suffit de prendre le plus petit entier supérieur à 1/2( 1/Alpha² -1), alors quelque soit n n0
Un ]-Alpha;Alpha[ et par définition lim quand n tend vers+ Un=0

OK.

Donc en repartant de -alpha < Un < alpha,
Un < alpha est toujours vrai comme je te l'ai déjà dit plus haut.

-alpha < (1-3n)/(n+2)
<=> ... (je te laisse résoudre)
<=> n < (1+2alpha)/(3-alpha)

Donc pour n < à (1+2alpha)/(3-alpha), Un € I.
Il suffit de prendre le plus grand entier (relatif) inférieur à (1+2alpha)/(3-alpha).

J'avais presque bon au tout tout départ mais il fallait partir de -Alpha Un

-alpha < (1-3n)/(n+2)
(Woo je suis grave moi :/) si je sais même plus faire ça...
Il faut commencer par quoi, jeee nageee je nage... j ai un Alpha je me retrouve avec deux, il est ou le problème ?

Commence par tout multiplier par n+2 pour faire disparaître le dénominateur. (n+2>0 donc ça ne change pas le sens de l'inéquation).

Ensuite, tu développes et tu extraits le n.

-Alpha(n+2) ( 1-3n)(n+2) ? ( tout multiplier par deux, numérateur inclue ?)
-Alpha*n - 2Alpha n + 2 - 3n² -6n
-Alpha*n - n + 3n² + 6n 2 + 2Alpha ?

Non, si tu multiplies par n+2 des 2 côtés, à gauche, tu -Alpha(n+2) et à droite : ( 1-3n).

Le dénominateur disparaît.

A oui voila c'est bien ce qu il me semblait, fiouuuu je vais y arriverrr

-Alpha(n+2) 1-3n
-Alpha*n -2Alpha 1 - 3n
-Alpha*n + 3n 1 + 2Alpha
ERREUR
n + 3n (1 + 2Alpha ) / ( -Alpha)
n+n (1 + 2Alpha ) / (3-Alpha)
A oui mais la il me reste 2n

J'ai indiqué l'endroit où tu as fait une erreur dans ton message. Il te faut factoriser n puis diviser ce facteur de chaque côté.

-Alpha*n + 3n 1 + 2Alpha
n( -Alpha + 3) 1 + 2Alpha
n (1 + 2Alpha) / ( -Alpha + 3)

Pourquoi suis-je en train de me dire que c'était vraiment trop simple ?

OK c'est bon.

Donc pour n < à (1+2alpha)/(3-alpha), Un € I.
Il suffit de prendre le plus grand entier inférieur à (1+2alpha)/(3-alpha) pour que n n0 , Un I
Et donc par définition Lim quand n tend vers + Un= -3 ?

J ai entendu dire au lycée que pour cet exercice certains prenaient pour intervalle I = ] -3 - Alpha ; -3 + Alpha [ car Un semble converger vers -3

Ensuite: -3 - Alpha (1-3n) / ( n+2 ) -3 + Alpha

-3 - Alpha (1-3n) / ( n+2 ) ==>> c'est toujours vrai

Donc on prend : (1-3n) / ( n+2 ) -3 + Alpha

<=> (1-3n) / ( n+2 ) + 3 Alpha

<=> ( 1-3n + 3n + 6) / ( n+2 ) Alpha on met tout sur le même dénominateur
<=> 7/ ( n+2 ) < Alpha les n se simplifient

<=> 7 / Alpha + 2 < n

Qui a bon qui n'a pas bon ?

Noova a écrit:J ai entendu dire au lycée que pour cet exercice certains prenaient pour intervalle I = [color=white][color=orange][color=white]] -3 - Alpha ; -3 + Alpha [ car Un semble converger vers -3

C'est ce que je te disais plus haut ! Mais si tu pars de la limite intuitive pour passer ensuite par la définition... je ne vois pas trop l'intérêt.

Donc il est préférable de faire comme on a fait ( tu surtout ^^ ) et non cette autre méthode la ?

Moi j'aurais fait sans passer par la définition, car il y a beaucoup plus rapide. Mais si c'est demandé de démontrer en passant par la définition, fais comme écrit à ton précédent message.