Questions de topologie

En lisant mon cours de topologie, j'aimerais éclaircir quelques points :

1) Quel contre-exemple pourrait-on trouver pour dire qu'une intersection infinie de parties ouvertes n'est pas ouverte ?

2) Est-ce-qu'une réunion quelconque de voisinages d'une partie est encore un voisinage de cette partie ?

3) Est-il vrai que le complémentaire de l'intérieur est l'intérieur du complémentaire ? Je suis à peu près sûr que oui, mais il y a tellement de subtilités dans ce cours que j'ai peur de commettre des erreurs...

Une réponse rapide pour le 3): si A est fermé, X/A (X est ton espace) est ouvert, donc X/A est l'intérieur de X/A; or le complémentaire de la partie ouverte de A sera X/A union la frontière de A, et donc pas X/A...tu peux aussi dire que le complémentaire d'un ouvert est fermé, donc le compl. d'un intérieur ne saura pas ^^etre un intérieur.

1) Dans (muni de la topologie euclidienne), l'intersection de tous les intervalles ouverts ]-1/n;1/n[ (avec n>0) est {0} qui n'est pas ouvert.

2) Qu'est ce que tu appelles exactement un voisinage d'une partie ? Si c'est un ensemble qui contient un ouvert qui contient lui-même la partie en question, alors la réponse est oui. La réunion de plusieurs voisinages contient en effet un voisinage et donc forcément un ouvert contenant la partie (à condition d'avoir au moins un ouvert dans la réunion).

3) Dans (muni de la topologie euclidienne),
l'intérieur de ]0,+ [ est ]0,+ [
et donc le complémentaire de l'intérieur de ]0,+ [ est ]- ,0].
Pourtant, le complémentaire de ]0,+ [ est ]- ,0]
et donc l'intérieur du complémentaire de ]0,+ [ est ]- ,0[..

OK pour la 1).

Pour la 2), on a défini le voisinage ouvert et le voisinage dont la définition est celle que tu as donnée, donc ça marche.

Pour la 3), l'intérieur de ]0;+ [, ce n'est pas plutôt [0;+ [ ?

Julien a écrit:Pour la 3), l'intérieur de ]0;+ [, ce n'est pas plutôt [0;+ [ ?

Non. Cela, c'est son adhérence.



En fait, tu as peut-être fait uen erreur d'énoncé. Car il est vrai que l'intérieur du complémentaire est le complémentaire de l'adhérence.
Preuve
Soit A une partie d'un espace topologique X. L'adhérence de A est le plus petit fermé (pour l'inclusion ensembliste) contenant A. Le complémentaire de cette adhérence est donc logiquement le plus grand ouvert disjoint de A. Mais alors ce complémentaire est aussi le plus grand ouvert inclus dans le complémentaire de A, c'est à dire l'intérieur du complémentaire de A.

ephemere a écrit:l'intérieur du complémentaire est le complémentaire de l'adhérence

Ca on ne l'a pas (encore ?) vu... et c'est le bon énoncé que j'ai mis. Mais comme c'est une question que je me pose, elle n'a peut-être pas de sens.

C'est bon aussi pour la 3).

Merci beaucoup pour ton aide qui m'aide à clarifier ce cours !

Mais j'ai une autre question !
Pourquoi ]-1;1[ n'est pas ouvert dans ² ?

Attention, l'ensemble ]-1;1[ n'est même pas une partie de l'ensemble X .

Si tu veux parler de l'ensemble ]-1;1[ X {0}, alors ce n'est pas un ouvert de l'espace topologique euclidien X car tout point de ce segment n'est pas le centre d'une boule de X contenue dans cet ensemble.

Non, en fait, je voulais parler de ]-1;1[x]-1;1[.

Julien a écrit:Non, en fait, je voulais parler de ]-1;1[x]-1;1[.

Cet ensemble est ouvert dans X muni de la topologie euclidienne.

Mais il y a des topologies moins fines de X avec lesquelles cet ensemble n'est pas un ouvert. L'exemple extrême est la topologie triviale qui ne possède que deux ouverts : et X .