Qu'est-ce-que la topologie ?

Voilà, quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce qu'est la topologie et surtout ce qu'est une topologie ?

Avec des exemples pour mieux comprendre si possible...

Je suis un peu déconcerté...

Tu avais posé des questions sur la topologie l'autre jour. Cela laissait sous-entendre que tu étais en train d'en faire. Et voila que tu demandes ce qu'est la topologie...

Par définition, une topologie T sur un ensemble non vide X est un ensemble de parties de X qui vérifie les deux propriétés suivantes :
1) toute union d'éléments de T est encore un élément de T,
2) toute intersection finie d'élements de T est encore un élément de T.

Les élément de T sont appelés ouverts.

Remarques importantes :
1) L'ensemble est une union vide d'éléments de T et est donc toujours un élément de T.
2) L'ensemble X est une intersection vide d'élements de T et est donc toujours un élément de T.

Non mais disons qu'on fait de la topologie sans savoir exactement ce que c'est vu qu'on n'a pas encore assez de recul. Donc maintenant qu'on a vu pas mal de choses sur ce chapitre (ouverts, fermés, intérieur, adhérence, continuité, uniforme continuité, linéarité, multinéarité, théorème du point fixe...) je voulais juste refaire un retour sur la définition d'une topologie que l'on n'avait pas vu.

Maintenant, grâce à ton deuxième post, je vois un peu mieux de quoi on parle quand on parle de topologie.

Je vois !

En fait, tu as étudié la topologie de certains espaces comme l'espace euclidien , par exemple. Et tu te demandais ce que la topologie était de façon plus générale. Je comprends mieux le pourquoi de ta question maintenant. J'aurais du y penser.

ephemere a écrit:En fait, tu as étudié la topologie de certains espaces comme l'espace euclidien , par exemple. Et tu te demandais ce que la topologie était de façon plus générale.

Exactement. J'aurais dû le préciser dans mon message initial aussi...

Mais merci bien pour tes explications une fois de plus !

ephemere a écrit:Par définition, une topologie T sur un ensemble non vide X est un ensemble de parties de X qui vérifie les deux propriétés suivantes :
1) toute union d'éléments de T est encore un élément de T,
2) toute intersection finie d'élements de T est encore un élément de T.

Les élément de T sont appelés ouverts.

Remarques importantes :
1) L'ensemble est une union vide d'éléments de T et est donc toujours un élément de T.
2) L'ensemble X est une intersection vide d'élements de T et est donc toujours un élément de T.

J'ajoute à ca une petite remarque qui m'avait assez perturbé au début, mais qui permet de mieux comprendre toute la puissance de cette définition.
On appelle celà les ouvert POUR CETTE TOPOLOGIE.
remarquez que si on prend comme X l'ensemble des réels, et comme topologie l'ensemble des fermés usuels, alors on peut les appeler des ouverts dans ce contexte.

remarquez que si on prend comme X l'ensemble des réels, et comme topologie l'ensemble des fermés usuels, alors on peut les appeler des ouverts dans ce contexte.

Non ! L'ensemble des fermés (au sens habituel) de l'espace euclidien n'est pas un ensemble qui est stable par union et ne peut donc pas constituer une topologie sur l'ensemble .

ha oui, il est stable dans un contexte fini... hum... boulette boulette...
Pourtant j'ai vu cette collection de fermé dans le cours de topologie... faudrait que je revois ca !
En tout cas je suis sur qu'à un moment on avait des ouverts qui étaient des fermés et des fermés qui étaient des ouverts... mais il y avait peut être des conditions en plus sur les ensembles...
(comme je n'ai toujours pas internet, j'ai pas mes cours à coté de moi, et donc je vais encore oublier d'aller vérifier...)

le_duche a écrit:ha oui, il est stable dans un contexte fini... hum... boulette boulette...
Pourtant j'ai vu cette collection de fermé dans le cours de topologie... faudrait que je revois ca !
En tout cas je suis sur qu'à un moment on avait des ouverts qui étaient des fermés et des fermés qui étaient des ouverts... mais il y avait peut être des conditions en plus sur les ensembles...
(comme je n'ai toujours pas internet, j'ai pas mes cours à coté de moi, et donc je vais encore oublier d'aller vérifier...)

Si l'espace topologique est séparé (ce qui est le cas pour tous les espaces métriques), alors ses singletons sont des fermés. Si tu supposes de plus que les fermés deviennent des ouverts, alors dans ce cas toutes les parties de ton espace doivent être des ouverts (car chaque partie est l'union des singletons qu'elle contient) et on a nécessairement affaire à la topologie discrète. Ce n'est donc pas très intéressant si on joue avec l'axiome de séparation.

Par contre, sans cet axiome, cela peut peut-être l'être dans certains cas.

TOPOLOGIE DISCRETE
C'était donc ça !