TS exercice suites

Bonjour,

Je suis en terminale S et j'ai besoin d'aide pour une question concernant les suites:

Soit un= (avec p=0 en dessous et n au dessus du ) 4*10^-p = 4+ 0.4+ 0.04 + 0.004 ... +4*10^-p et soit vn= un +10^-n.

(un) est croissante, et (vn) est décroissante. De plus, elles sont adjacentes donc elles ont une limite commune.

1) Soit wn= 10un - un. Exprimer la limite de (wn) en fonction de celle de (un).

2) Montrer que wn= 40 - 4*10^-n.
Voilà, pour la première on peut mettre wn= 9un mais en suite je ne vois pas comment procéder. D'après quelques calculs, je trouve que lim (wn) =40 mais comment le prouver?
Pour la 2, je ne vois pas non plus par où commencer, dois-je conjecturer quelque chose avant? Faut-il utiliser la preuve par récurrence?

Merci de m'aider.

bonjour
pour ta première question il faut se contenter d'exprimer la limite de (Wn) en fonction de celle de (Un), tu n'as pas à trouver la valeur de cette limite!
posons lim (Un)= l , il faut alors exprimer lim(Wn) en fonction de l , or comme (Un) et (Wn) sont écrites sous la forme f(n) avec f une fonction, les propriétés des fonctions restent vraies pour ces suites, notament le fait que si lim f= l (en a) alors lim 9*f=9*l ( en a) avec a , un réel ou + ou - inf .
Utilise cette propiété et tu obtiendras la limite de (Wn) en fonction de l .
Pour la question 2 , tu peux utiliser une preuve par récurrence, ça marche bien, pour le prouver au rang n il faut que tu exprimes U(n+1) en Un + qqch et tu remplaces U(n+1) dans l'expression de W(n+1)=10U(n+1)-U(n+1) tu dois ainsi aboutir à W(n+1)=40-4*10^(-n-1)
si tu n'arrives pas au bout écris ton calcul et je t'aiderai.

Bonjour,

Pour la première question, j'ai donc trouvé lim (wn) = 9 * l; est-ce bien ça ?
Sinon, pour la deuxième je n'ai pas encore réussi car comment je peux éliminer le 4* 10^-(p+1) quand je remplace u(n+1) par un + 4*10^-(p+1)? Je dois arriver seulement avec des n à la puissance et non avec des p; donc je ne vois pas comment faire. Est-ce la bonne expression de u(n+1)?

Merci de m'aider.

ehm z'êtes pas un peu connes là:-)? Tu écris bêtement 10un-un en termes de sommes, tu vois que bcp de termes disparaissent et qu'il ne reste plus que ces 2 termes-là. Oublie la récurrence, c'est pas nécessaire du tout et beaucoup trop long.

D'accord, wn = 9un mais à partir de là, comment on peut prouver que wn = 40 - 4* 10 ^-n? Je ne vois tjs pas.

A non, c'est bon j'ai compris mon erreur. En fait, u(n+1) = un + (4*10^-n) or je croyais que u(n+1) = un + (4*10^-p). Donc c'est bon merci Sarah.

Bonjour, j’aurai besoin d’aide pour une question sur lequel je réfléchis depuis hier mais que je n’arrive pas à résoudre. C’est dans la suite de l’exercice mais je pense que c’est une partie indépendante de l’autre ; voila :



Soit E la partie entière.



Soit p= E(x*10^(n+1)) avec x étant un réel

De plus : p<ou= x*10^(n+1) < p+1



Soit q= E(x*10^n)

De plus : q<ou=x*10^n< q+1



Montrer que p-10q>-1



Voilà, je possède d’autres données mais je ne pense pas qu’elles sont utiles.

Alors seulement avec celles-ci est-il possible de prouver cette inégalité ?

Merci de m’aider

la méthode par récurrence ne fait que quelques lignes et constitue de toute manière un bon entrainement.

pour ta dernière question , ces hypothèses suffisent.
Concentre toi sur les deux inégalités que tu as avec p et q .
tu veux trouver une inéhgalité pour p-10q , pour pouvoir la trouver il faut , comme tres souvent dans ces cas la, trouver une inégalité pour p et une autre pour -10q telles que quand tu les additionnes membres à membres tu retrouves p-10d> -1 .
pour trouver l inégalité pour p , il serait tentant de prendre p< x*10^(n+1) mais le problème est qu on a p< a qqch or on veut p> a qqch pour pour obtenir au final p-10q > a qqch
Il suffit donc d'utiliser la deuxième égalité que tu as pour p , ou plus exactement pour p+1, tu l'as?
maintenant trouvons en une autre pour q
pour la trouver il faut que tu en prennes l'inégalite que tu as pour q et la multiplier par -10 ( n'oublie pas de changer de signe vu que -10 est négatif)
maintenant tu as deux inégalités p> a qqch et -10q > qqch
additionne les deux et tu obtiendras ce qu'il faut!
remarque: tu peux additionner les deux seulement parce que les inégalités sont dans le même sens.
entraine toi à ce genre d'exos car c'est vraiment le style sujet bac et faut pas que tu bloques sur ça,
ça va mieux?

Ok, merci j'ai réussi. Maintenant, on doit en déduire le sens de variation de (un) sachant que u(n+1) - un = (E(x*10^(n+1))-10*E(x*10^n))*10^-(n+1).
E est la fonction partie entière.

Voilà, j'ai transformé cette relation; ça donne bien:

u(n+1)-un= (p - 10q)* 10^-(n+1).
Cependant, on ne peut pas avoir si un est croissante car on ne sait pas si u(n+1)-un est positif ou négatif. En effet, on a 10^-(n+1) qui est un terme positif mais (p-10q) peut être positif comme négatif comme p-10q>-1; donc quelque chose doit m'échapper. Merci de m'aider.

tout est dans le même exercice? les questions sont un peu décousues... dans tes hypothèses , dans ton premier message on donne que (Un) est croissante donc le sens de variation est donné et en plus tu connais aussi sa limite. Je vois pas trop ce que tu peux rajouter. En tout ce que tu as mis dans ton dernier post est tout a fait vrai , ça ne suffit pas. A moins qu on te demande de vérifier que ça concorde avec les hypothèses. Je trouve ça bizare car il n'y a pas d'évolution dans les questions et des hypothèses qui ne servent à rien.... il y avait d autres questions dans l'exo?

En fait, ce sont deux parties différentes, donc deux suites différentes. Mais j'ai compris, en fait p-10q est un entier, donc p-10q est supérieur ou égal à 0 ainsi Un est croissante.

Voilà, merci bp pour l'aide que vous m'avez apporté.