Etude de limites

Bonjour, voilà, mon problème est tout bête, mais j'arrive pas à assimiler le théorème sur les limites. l'étude de limites ne me pose pas de problème, toutefois j'aimerais bien lors de cette étude répondre à l'aide du théorème. Et là que ça pose problème.

Exmeple:
f(x)=((x²-1)/(x²+x+1))

Voilà, il est clair que f(x) tend vers 1 lorsque x tend vers + :

Là, je vois pas comment répondre à l'aide du théorème. Je bloque.

Bonjour et bienvenue sur le forum


Tu veux utiliser quel théorème ?

Parce que le plus efficace pour étudier la limite d'un quotient de deux polynômes, c'est :
. à l’infini, une fonction rationnelle a même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

Bonjour à toi et merci d'avoir
répondu.

Non, je n'ai pas de problème avec ce théorème que tu viens de citer. Je sais
comment trouver les limites.

C'est surtout qu'en ce moment j'étudie avec un livre qui propose des exercices
avec ses solutions. Et le fait est que je n'arrive pas à comprendre les étapes
qu'ils suivent pour étudier la limite en un point.

Je garde l'exemple qu'ils utilisent, et je copie la solution:

f(x)=((x²-1)/(x²+x+1))

On vérifie que f(x) tend vers 1 lorsque x tend vers + :

f(x) - 1= (x²-1)/(x²+x+1) - 1 = (-x-2)/(x²+x+1)

Soit ε un réel strictement positif. L'inégalité |f(x) - 1| ε ou, puisqu'on peut limiter l'étude au cas x
0, (x+2)/(x²+x+1) ε

(jusque là, c'est clair)

est à fortiori vérifiée lorsque:

(x+2)/x²
ε

Ou même dès que x 2 lorsque 2x/x² ε

or cette dernière équivaut à x 2/ε

Il est existe donc un réel A (On peut prendre le plus grand nombre des deux
nombres 2 et 2/ε) tel que:


x A entraîne |f(x) - 1| ε


C'est la
définition même de la phrase: f(x) tend vers 1 lorsque x tend vers +


Voilà, c'est les étapes qui sont en italique que j'arrive pas à "décoder"

Si pour x>0, (x+2)/x² ε

alors pour x>2, (x+2)/x² < (x+x)/x² <ε
soit pour x>2, 2x/x² ε.

En inversant le sens de l'inégalité et en simplifiant par x, on obtient x 2/ε.

Ahhhh d'accord, je crois que j'aurais pas compris tout seul cette étape. Merci.