Suites, récurrence, limite de suites
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Suites, récurrence, limite de suites
par Matheux94 Sam 24 Nov 2007 - 15:49
Bonjour,
qui dit nouvel exo, dit nouvelle difficultées
voici l'énoncé :
EXO
Les suites (Un) et (Vn) sont définies par Uo=-1 ; Vo=2 et pour tout entier n:
Un+1 = (Un + Vn)/2 et Vn+1 = (Un + 4Vn) / 5
1)
a/ Démontrez par récurrence que pour tout n, Un<Vn
b/ Démontrez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
2) Trouvez deux réels distincts a et b tels que les suites (Sn et (tn) définies pour tout n par :
Sn = Un + aVn et tn = Un + bVn
soient géométriques (éventuellement constantes).
3) Exprimez Sn et tn en fonction de n.
4) Trouvez la limite des suites (Un) et (Vn)
Alors j'ai bien sur commencer l'exercice, voilà ce que j'ai fait :
1) a/
Si Un < Vn alors Vn-Un > 0
Vn+1 - Un+1 = (Un+4Vn)/5 - (Un + Vn)/2
Vn+1 - Un+1 = (2(Un+4Vn) - 5(Un+Vn) ) / 10
Vn+1 - Un+1 = 2Un+8Vn-5Un-5Vn/10
Vn+1 - Un+1 = (3Vn-3Un)/10
Vn+1 - Un+1 = 3(Vn-Un)/10 > 0
Donc Vn+1 - Un+1 > 0
Vn - Un > 0 et Un < Vn
b/
Un+1 - Un = (Un+Vn)/2 - Un
Un+1 - Un = Un+Vn-2Un/2
Un+1 - Un = (Vn-Un)/2
or d'après a) Vn - Un > 0
Donc Un+1 - Un = (Vn-Un)/2 > 0
(Un) est croissante
Vn+1 - Vn = (Un+4Vn)/5 - Vn
Vn+1 - Vn = Un+4Vn-5Vn/5
Vn+1 - Vn = (Un - Vn)/5
Vn - Un > 0 <=> Un < Vn Donc Un - Vn < 0 et Vn+1 - Vn < 0
(Vn) est décroissante
Par contre pour prouver que la limite est = 0 et pour prouver qu'elles sont donc adjacentes, je n'y arrive pas ... parce que théoriquement, on devrait encadrer 0<Vn-Un< ... et prouver par le théorème de gendarmes que la limite de Vn-Un = 0 mais je vois pas comment là ...
Et pour le reste, je ne sais pas comment procéder non plus ...
Merci donc d'avance de me corrigé et d'éventuellement m'aider pour la suite
qui dit nouvel exo, dit nouvelle difficultées
voici l'énoncé :
EXO
Les suites (Un) et (Vn) sont définies par Uo=-1 ; Vo=2 et pour tout entier n:
Un+1 = (Un + Vn)/2 et Vn+1 = (Un + 4Vn) / 5
1)
a/ Démontrez par récurrence que pour tout n, Un<Vn
b/ Démontrez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
2) Trouvez deux réels distincts a et b tels que les suites (Sn et (tn) définies pour tout n par :
Sn = Un + aVn et tn = Un + bVn
soient géométriques (éventuellement constantes).
3) Exprimez Sn et tn en fonction de n.
4) Trouvez la limite des suites (Un) et (Vn)
Alors j'ai bien sur commencer l'exercice, voilà ce que j'ai fait :
1) a/
Si Un < Vn alors Vn-Un > 0
Vn+1 - Un+1 = (Un+4Vn)/5 - (Un + Vn)/2
Vn+1 - Un+1 = (2(Un+4Vn) - 5(Un+Vn) ) / 10
Vn+1 - Un+1 = 2Un+8Vn-5Un-5Vn/10
Vn+1 - Un+1 = (3Vn-3Un)/10
Vn+1 - Un+1 = 3(Vn-Un)/10 > 0
Donc Vn+1 - Un+1 > 0
Vn - Un > 0 et Un < Vn
b/
Un+1 - Un = (Un+Vn)/2 - Un
Un+1 - Un = Un+Vn-2Un/2
Un+1 - Un = (Vn-Un)/2
or d'après a) Vn - Un > 0
Donc Un+1 - Un = (Vn-Un)/2 > 0
(Un) est croissante
Vn+1 - Vn = (Un+4Vn)/5 - Vn
Vn+1 - Vn = Un+4Vn-5Vn/5
Vn+1 - Vn = (Un - Vn)/5
Vn - Un > 0 <=> Un < Vn Donc Un - Vn < 0 et Vn+1 - Vn < 0
(Vn) est décroissante
Par contre pour prouver que la limite est = 0 et pour prouver qu'elles sont donc adjacentes, je n'y arrive pas ... parce que théoriquement, on devrait encadrer 0<Vn-Un< ... et prouver par le théorème de gendarmes que la limite de Vn-Un = 0 mais je vois pas comment là ...
Et pour le reste, je ne sais pas comment procéder non plus ...
Merci donc d'avance de me corrigé et d'éventuellement m'aider pour la suite
Matheux94- Membre
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par Julien Sam 24 Nov 2007 - 18:11
Salut Matheux94 !
Bon, je fais juste remarquer que ce message donne envie d'aider la personne qui l'a posté : (la politesse est là, c'est bien écrit et on voit que la personne a cherché le problème)...
Pour la 1-a), je suis d'accord avec toi.
Pour la 1-b), une fois que tu as prouvé la croissance de l'une et la décroissance de l'autre, il ne te reste plus qu'à prouver que la différence vn-un tend vers 0 comme tu l'as écrit.
Or d'après la question précédente, tu as montré que vn+1-un+1=3(vn-un)/10.
Si tu décides d'écrire wn=vn-un alors tu as wn+1=3wn/10 ce qui doit te faire penser à une suite géométrique avec une raison < 1 donc... je te laisse finir.
Bon, je fais juste remarquer que ce message donne envie d'aider la personne qui l'a posté : (la politesse est là, c'est bien écrit et on voit que la personne a cherché le problème)...
Pour la 1-a), je suis d'accord avec toi.
Pour la 1-b), une fois que tu as prouvé la croissance de l'une et la décroissance de l'autre, il ne te reste plus qu'à prouver que la différence vn-un tend vers 0 comme tu l'as écrit.
Or d'après la question précédente, tu as montré que vn+1-un+1=3(vn-un)/10.
Si tu décides d'écrire wn=vn-un alors tu as wn+1=3wn/10 ce qui doit te faire penser à une suite géométrique avec une raison < 1 donc... je te laisse finir.
Julien- Administrateur
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par Matheux94 Lun 26 Nov 2007 - 14:02
d'accord merci !!!
pour le 2) j'ai appliquer les formules de la suite géométrique avec S1 et S2 j'obtiens donc que q= S1/So=S2/S1
et donc en remplacement par les formules, on obtiens l'équation :
(U1+aV1)² = (Uo+aVo)(U2+aV2)
mais heu je ne vois pas comment extraire le a ^^
pour le 2) j'ai appliquer les formules de la suite géométrique avec S1 et S2 j'obtiens donc que q= S1/So=S2/S1
et donc en remplacement par les formules, on obtiens l'équation :
(U1+aV1)² = (Uo+aVo)(U2+aV2)
mais heu je ne vois pas comment extraire le a ^^
Matheux94- Membre
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par Julien Lun 26 Nov 2007 - 19:47
Moi j'ai directement calculé sn+1 en fonction de un et vn. J'ai obtenu une équation du 2nd degré avec deux solutions... a et b.
Julien- Administrateur
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par payne Mer 28 Nov 2007 - 0:50
Juste une question comme ça : les "n+1" en indice sous les variables et tout, c'est pour indiquer une incrémentation de 'n'?
payne- Membre
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par Julien Mer 28 Nov 2007 - 6:16
payne a écrit:Juste une question comme ça : les "n+1" en indice sous les variables et tout, c'est pour indiquer une incrémentation de 'n'?
Oui, c'est pour désigner le terme suivant de la suite.
Julien- Administrateur
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par Matheux94 Mer 28 Nov 2007 - 17:33
okk merci beaucoup j'ai réussis 
Matheux94- Membre
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Re: Suites, récurrence, limite de suites
par Julien Mer 28 Nov 2007 - 19:25
OK, tu as trouvé quoi ? Et t'as pu finir l'exercice ?Matheux94 a écrit:okk merci beaucoup j'ai réussis
Julien- Administrateur
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