1ère S Révision vecteurs

Bonjour, je suis en première S et notre professeur nous a donné un devoir à la maison de révision. J’ai répondu à certaines questions, je vous donne directement mes résultats trouvés dont je suis sûre et je vous poserai les questions me posant problème.

1) Soient A(-1 ;0), B(-2 ;-3), C(6,1) dans un repère orthonormal (O, i, j). C est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. I est le milieu du segment [AC], J est celui du segment [BC].
Equation de (BI) : y=7/9x-13/9 ,de (AJ) : y=-1/3x –1/3.
Soit G le centre de gravité (coordonnées : (1 ; -2/3)).
Vecteur GA + GB + GC= vecteur 0. Ils me demandent de calculer les coordonnées de ce vecteur. J’ai trouve (0 ;0). Ensuite, quelle égalité vectorielle en déduit-on ? J’ai répondu que c’était égal au vecteur 0. Est-ce bien ça qu’ils demandent selon vous ?
Quelle autre égalité vectorielle les points G,A,J vérifient-ils ? J’ai répondu vecteur AG=2/3 du vecteur AJ, est-ce ça ?


2) D et D’ sont les hauteurs du triangle ABC, issues respectivement de A et de B. D a pour équation y= -2x-2. Et D’ : y=-7x-17. L’orthocentre H de ABC a pour coordonnées (-3 ;4).

3) Alpha et Alpha’ sont les médiatrices respectives des segments [BC] et [AC]. Alpha a cette équation : y=-2x+3 et Alpha’ : y=-7x+18. Le centre du cercle C est K. Ses coordonnées sont : (3 ;-3). KA=KB=KC. Vérifier par un calcul que vecteur KH= vecteur KA+ vecteur KB + vecteur KC. Là, je ne sais pas comment faire par le calcul. Pouvez-vous m’éclairer s’il vous plaît.

4) Que peut-on dire des points G,H,K ? Ils sont alignés mais je ne sais pas comment le justifier.

5) Soit E le symétrique de A par rapport à K.
Les coordonnés de E sont (7 ;-6).
Quelle est la nature du quadrilatère BCHE ? (justifier). J’ai calculé les coefficients directeur de (HC), (BE), (HB), (CE) pour démontrer que (HB) parallèle à (CE) et que (HC) parallèle à (BE) pour dire que c’est un parallélogramme. Est-ce une bonne méthode ? En voyez-vous une autre mieux adaptée ?

Merci de bien vouloir répondre à ces questions.

Salut,

Je ne comprends pas tout... Reprenons du début :

pmpt a écrit:1) Soient A(-1 ;0), B(-2 ;-3), C(6,1) dans un repère orthonormal (O, i, j). C est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Il ne s'agit pas de C, mais plutôt de O je pense...

pmpt a écrit:Equation de (BI) : y=7/9x-13/9 ,de (AJ) : y=-1/3x –1/3.

C'est à vérifier ou on te le donne ?

pmpt a écrit:Vecteur GA + GB + GC= vecteur 0. Ils me demandent de calculer les coordonnées de ce vecteur.

Les coordonnées du vecteur nul ?

Julien a écrit:Je ne comprends pas tout... Reprenons du début :

pmpt a écrit:1) Soient A(-1 ;0), B(-2 ;-3), C(6,1) dans un repère orthonormal (O, i, j). C est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Il ne s'agit pas de C, mais plutôt de O je pense...

Ben non le point C existe...

Salut,

je viens de regarder ton problème, et voilà ce que je trouve...

pmpt a écrit:1) Soient A(-1 ;0), B(-2 ;-3), C(6,1) dans un repère orthonormal (O, i, j). C est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Je pense que tu t'es trompé(e) en recopiant, c'est plutôt "C (un grand "C" avec des boucles, pas le même C que le point...) est le cercle circonscrit au triangle ABC" (en plaçant rapidement les points dans un repère au brouillon, on remarque que O ne peut pas être le centre de ce cercle... et Nikoala: je ne sais pas si tu sais ce que c'est qu'un cercle circonscrit à un triangle ? Il doit passer par tous les sommets du triangle donc le point C ne peut pas être le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, c'est pour ça que Julien suggérait O.)

pmpt a écrit:Equation de (BI) : y=7/9x-13/9 ,de (AJ) : y=-1/3x –1/3.

Je pense que pmpt donne ces équations parce qu'on lui a demandé et qu'il/elle l'a déjà fait, ça me paraît bon.

pmpt a écrit:Vecteur GA + GB + GC= vecteur 0. Ils me demandent de calculer les coordonnées de ce vecteur.

On te demande pas plutôt de calculer les coordonnées de :
"vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC " ?
Et toi tu as trouvé (0,0), j'ai pas vérifié, mais ça me paraît bon. (étant donné que c'est le centre de gravité du triangle ABC, c'est aussi le barycentre de (A,1);(B,1);(C,1) d'après mes souvenirs, c'est bien ça ? Mais ça m'étonnerait que tu aies déjà étudié les barycentres....)

pmpt a écrit:J’ai trouve (0 ;0). Ensuite, quelle égalité vectorielle en déduit-on ? J’ai répondu que c’était égal au vecteur 0. Est-ce bien ça qu’ils demandent selon vous ?

Si la question est de calculer les coordonnées de : "vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC ", je pense que tu as bien répondu.

pmpt a écrit:Quelle autre égalité vectorielle les points G,A,J vérifient-ils ? J’ai répondu vecteur AG=2/3 du vecteur AJ, est-ce ça ?

Oui, puisque G appartient à la médiane (AJ) et est situé au 2/3 de A. (car G est centre de gravité)

pmpt a écrit:Vérifier par un calcul que vecteur KH= vecteur KA+ vecteur KB + vecteur KC. Là, je ne sais pas comment faire par le calcul. Pouvez-vous m’éclairer s’il vous plaît.

Il te suffit de calculer les coordonnées du vecteur KH et les coordonnées de "vecteur KA + vecteur KB + vecteur KC " et tu verras que c'est les mêmes...

pmpt a écrit:4) Que peut-on dire des points G,H,K ? Ils sont alignés mais je ne sais pas comment le justifier.

Il faut se servir de "vecteur KH= vecteur KA+ vecteur KB + vecteur KC", y introduire le point G et tu obtiendras une égalité entre le vecteur KH et le vecteur KG.

pmpt a écrit:Quelle est la nature du quadrilatère BCHE ? (justifier). J’ai calculé les coefficients directeur de (HC), (BE), (HB), (CE) pour démontrer que (HB) parallèle à (CE) et que (HC) parallèle à (BE) pour dire que c’est un parallélogramme. Est-ce une bonne méthode ? En voyez-vous une autre mieux adaptée ?

Oui, il y a une autre méthode plus adaptée... Que peux-tu dire du vecteur BE et du vecteur HC (par exmple) ?


Bon allez, j'espère que j'ai pu t'aider et que je ne me suis pas trompé. Si tu as des questions, n'hésite pas !!

Bonjour, oui, vous avez raison pour tout. Je voulais mettre un grand C en boucle pour désigner le centre du cercle circonscrit au triangle. POur les équations, on me les a demandé et je vous les donne pour aller plus vite car je pense avoir trouvé la bonne réponse.

J'ai deux questions.

On me demande bien de calculer les coordonnées du vecteur GA+GB+GC et j'ai répondu (0;0). Ensuite, ils me demandents quelle égalité vectorielle on obtient. Je suppose qu'il faut simplement mettre que vecteur GA+GB+GC=vecteur nul. Est-ce ça?

Pour montrer que G, H et K sont alignés, j'ai trouvé une autre méthode. On peut calculer les coordonnés du vecteur GH et de HK et en utilisant la condition de colinéarité, montrer que xy'-x'y=0 et on a démontrer que les vecteurs étaient colinéaires et donc alignés, non?Quelle méthode il vaut mieux utiliser?

Pour BCHE, je peux calculer les coordonnés de BE et de HC et là utiliser la condition de colinéarité pour montrer que c'est colinéaire. Et ca suffit pour montrer que c'est un parallélogramme.

Merci de votre aide.

pmpt a écrit:On me demande bien de calculer les coordonnées du vecteur GA+GB+GC et j'ai répondu (0;0).

On te demande de calculer les coordonnées du "vecteur GA+GB+GC" ou de "vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC" ? A mon avis c'est plutôt "vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC", sinon ça serait bizarre....

pmpt a écrit:Ensuite, ils me demandents quelle égalité vectorielle on obtient. Je suppose qu'il faut simplement mettre que vecteur GA+GB+GC=vecteur nul. Est-ce ça?

Je pense aussi.

pmpt a écrit:Pour montrer que G, H et K sont alignés, j'ai trouvé une autre méthode. On peut calculer les coordonnés du vecteur GH et de HK et en utilisant la condition de colinéarité, montrer que xy'-x'y=0 et on a démontrer que les vecteurs étaient colinéaires et donc alignés, non?Quelle méthode il vaut mieux utiliser?

Ca revient au même, utilise la méthode que tu as l'habitude d'utiliser.

pmpt a écrit:Pour BCHE, je peux calculer les coordonnés de BE et de HC et là utiliser la condition de colinéarité pour montrer que c'est colinéaire. Et ca suffit pour montrer que c'est un parallélogramme.

Si tu veux montrer que c'est un parallélogramme, il ne faut pas montrer qu'ils sont colinéaires, il faut montrer qu'ils sont égaux.
S'ils sont colinéaires (et pas égaux) et qu'on a, par exmple, "vecteur BE = 3 * vecteur HC", en faisant vite fait un dessin, tu verras que BHCE ne peut pas être un parallélogramme... mais plutôt un trapèze. La colinéarité est une condition nécessaire, mais pas suffisante pour montrer que c'est un paralléogramme.

Donc dans ton cas, en calculant les coordonnées du vecteur BE et celles du vecteur HC, tu t'apercevras qu'ils ont les mêmes coordonnées donc qu'ils sont égaux... Ce qui veut dire qu'en plus d'être colinéaires, ils ont la même longueur. Donc [BE] et [HC] sont parallèles et de même longueur, et comme tu le sais, un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur est un parallèlogramme.


Voilà j'espère que j'ai bien répondu à tes questions. Si je me suis trompée, corrigez moi.

Merci beaucoup pour votre qui m'a été très précieuse. Juste une toute petite dernière question. Pour montrer que (BE) et (HC) sont colinéaires, j'ai juste à calculer leurs coordonnées, je n'ai pas besoin d'utiliser la condition de colinéarité?

Merci.

pmpt a écrit:Juste une toute petite dernière question. Pour montrer que (BE) et (HC) sont colinéaires, j'ai juste à calculer leurs coordonnées, je n'ai pas besoin d'utiliser la condition de colinéarité?

Tu vas trouver que le vecteur BE = vecteur HC (parce qu'ils ont exactement les mêmes coordonnées), c'est ce que j'ai trouvé en tout cas. Ce qui entraîne forcément que le vecteur BE et le vecteur HC sont colinéaires. Donc pas la peine de le remontrer, mais tu peux mettre le calcul de "xy'-x'y=0" si tu as envie, ça montreras que tu as compris et puis c'est très rapide.

Oui, vous avez raison! J'ai trouvé que leur coordonnées faisaient: (9;-3).

Merci pour tout!

pmpt a écrit:Oui, vous avez raison! J'ai trouvé que leur coordonnées faisaient: (9;-3).

Merci pour tout!

J'ai aussi trouvé ça !
De rien! J'aime bien les maths et ça m'a permis de me rappeler pas mal de notions que j'avais un peu oubliées.