etudier le sens de variation de uv

bonjour a tous
j'ai un petit probleme sur exercice de maths auquel je ne comprends rien de rien

le voici:

1. Démontrer que si u et v sont croissantes sur un intervalle I et si pour tout réel x de I, u(x) 0 et v(x) 0, alors uv est croissante sur I

2. Dans chacun des cas suivants, la fonction uv est monotone sur I. Démontrer cette affirmation.
a) u et v sont croissantes sur I et pour tout réel x de I,
u(x) 0 et v(x) 0
b) u est croissante sur I, v est décroissante sur I et pour tout réel x de I,
u(x) 0 et v(x) 0


Je vous remercie d'avance de votre soutien.
J'ai un autre exercice a faire aussi mais je veux y réfléchir encore un peu avant de le mettre sur ce forum. Mais celui sur lequel je bloque pour l'instant, est a faire pour lundi.

Bonjour,



pour la première question, u est croissante sur I donc si x1 x2, u(x1) u(x2).
De même pour v : v(x1) v(x2).

Or pout tout x de I, u et v sont positives donc on peut multiplier les 2 inégalités entre elles sans problème :
donc si x1 x2, u(x1) * v(x1) u(x2) * v(x2) soit encore uv(x1) uv(x2).

Donc uv est croissante sur I.

Est-ce-que tu es d'accord avec moi ?

bonjour
je suis d'accord avec vous
merci

De plus, je suis vrament désolé et j'espere que vous ne l'avez pas encore cherché mais j'ai fait une petite faute en recopiant l'énoncé u 2. b)
voici le bon énoncé :
b) u est croissante sur I, v est décroissante sur I et pour tout réel x de I,
u(x) 0 et v(x) 0

Non je n'ai pas cherché la deuxième question encore. Mais avec la réponse à la première question, ça ne t'aide pas à pourquivre ?

bonjour,
ben en fait non je n'y arrive pas plus pour le 2. voulez vous bien me montrer peut etre que le 2.a pour l'instant
et puis l'autre exercice que j'ai essayé de faire mais ou je n'ai pas réussi non plu est le suivant :

une inégalité étrange
a) Etudier le sens de variation de la fonction x:tend: x+1/x sur ]0;+ [
b) a,b,c,d,e,f,g,h, sont huit réels strictement positifs.
Démontrer l'inégalité:
a/h + h/a + b/g + g/b + c/f + f/c +d/e +e/d 8


mon prof m'a donné comme indication que :

a et b sont deux réels appartenant a ]0;+ [
a:linf: b
f(a)-f(b)= a + 1/a - b -1/b
= a - b + 1/a -1/b
= a - b + (b-a)/(ab)
= (a - b)(1 - 1/ab)
= (a - b)[(ab-1)/ab]

on sait que a - b est négatif
on sait que ab est positif
il faut donc étudier le signe de ab-1
mais la je ne sais pas quoi faire
j'ai tracé la courbe sur ma calculette
faut-il faire des suppositions ? si oui je ne sais pas comment faire

merci de votre aide

bonjour
excusez moi
je voudrais pas vous mettre la pression mais c'est pour demain.
merci

pour le 2.a du premier exercice
je pense avoir trouvé que si on multiplie par -1 -u(x) 0 et -v(x) 0 on obtient a peu pres le meme énoncé que pour le 1., à savoir -u(x) et -v(x) positifs. donc on peut les multiplier entre eux.
est-ce bon?

en grand a écrit:je voudrais pas vous mettre la pression mais c'est pour demain.

Tu sais, c'est pas nous qui avons la pression !

Je vais regarder en priorité ton nouvel exo... pour l'autre, tu dois être sur la bonne voie si tu as compris le 1).

Bon, si tu as étudié le sens de variations de ta fonction, tu as sans doute remarqué qu'elle a un minimum qui est... ? Après, c'est fini !

je vois pas tellement ce que vous voulez dire

son minimum c'est 2 pour x=1 je pense

Quand tu as tracé ta fonction sur ta calculatrice, tu as vu qu'elle commençait par descendre puis qu'elle remontait...
Entre ces 2 instants, il y a donc un minimum ! A toi de le déterminer. T'es en quelle classe ?

en grand a écrit:son minimum c'est 2 pour x=1 je pense

Voilà !

Maintenant, il faut t'en servir pour la suite ! C'est même pas la peine d'utiliser ce qu'a fait ton prof à mon avis...

je suis en 1e

D'accord.

Bon, si tu prends x=a/h avec ta première fonction, qu'est-ce-que tu obtiens comme inégalité ?

oué mais pour le petit b je vois a peu pres ce qu'il faut faire mais comment peut-on savoir si les inconnus sont supérieurs pas à 1?

Je ne vois pas où est ton problème. a et h étant strictement positifs, il en est de même pour a/h donc tu peux le rentrer dans la fonction initiale et en déduire l'inégalité intéressante.

pour x=a/h on obtient f(x)= a/h +h/a
et a chaque fois c'est pareil
mais on peut pas savoir si a/h:lsup: 1 ou si a/h:linf: 1

ah si je suis bète dsl

en grand a écrit:pour x=a/h on obtient f(x)= a/h +h/a
et a chaque fois c'est pareil

Oui, je suis d'accord.

en grand a écrit:mais on peut pas savoir si a/h:lsup: 1 ou si a/h:linf: 1

On n'en a pas besoin !

Tu sais que x 0, f(x) 2 (car 2 est le minimum de la fonction sur ]0;+[ donc...

bon ba j'ai tout compris pour cet exo
merci beaucoup

il y a un truc que je ne sais pas: c'est ce que signifie ce signe

Oui c'est normal !
signifie "pour tout" ou "quel que soit"...

C'est quoi 1ere chez vous? Au Luxembourg, c'est l'année du BAC...mais clairement ce n'est pas le cas chez vous sinon je me ferais des soucis :-). Julien, juste pour savoir: comment t'as su que le gars ne connaît pas les dérivées tout au départ quand il n'a rien dit sur son année d'études?

ok merci
je voudrais savoir autre chose svp
pour en revenir au premier execice
si on a:
u et v sont croissantes sur I et pour tout réel x de I,
u(x) 0 et v(x) 0

est-ce que ca change le sens de variations si on fait
-u(x) 0 et -v(x) 0 autrement dit en multipliant par -1

Bon même si tu connais pas, ceci peut t'aider pour mieux visualiser ton exo: note f(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) (dérivation). Ta fonction f(x) te donne toutes tes réponses. Que valent u'(x) et v'(x)? Et bien, si u (ou v) est croissant, u'(x)>=0 pour tout x. Et si u est décroissant, u(x) est inf ou égal à 0.
Ta question est dès lors évidente: u croiss -> u'>=0.
v croiss -> v' pos
Dès lors, f=u'v+v'u est nég dans ta question (donc uv est décroissant!), alors que ct pos (donc uv croissant) dans ton exemple de départ.
Tu vois?

Sangoku a écrit:C'est quoi 1ere chez vous?

C'est un an avant le BAC...

Julien, juste pour savoir: comment t'as su que le gars ne connaît pas
les dérivées tout au départ quand il n'a rien dit sur son année
d'études?

D'après le niveau du premier exo et parce qu'il n'avait pas compris quand je parlais du minimum... Quand on connaît les dérivées, ça va beaucoup plus vite !

non je vois pas tellement
j'ai pas vu les dérivés

Un an avant le bac??? Mais c'est là qu'on apprend les dérivées normalement non???

Sangoku a écrit:Un an avant le bac??? Mais c'est là qu'on apprend les dérivées normalement non???

Oui, c'est cette année qu'il va le découvrir, mais l'année vient de commencer !

c'est dans mon programme de cette année mais on en pas encore a ce chapitre

Ok tu me rassures là.

je tiens vraiment a encore vous remercier pour tout le temps que vous m'avez consacré.
bonne soirée

Avec plaisir.

De nada!